ลองเอานิยามของ inf กับ sup ออกมาดูก่อน
มันคือ lower bound ตัวใหญ่สุด กับ upper bound ตัวเล็กสุดใช่ป่าว
ก็มาดูช่วงของ (a,b) ที่เป็น sub set ของ R
และสมาชิกทุกตัวที่อยู่ในช่วงนี้ ทุกตัวในนี้จะใหญ่ไม่เกิน b
เพราะงั้นก็ทำตามนิยามสิ อย่างจะ prove ว่า sup(a,b)=b ใน case ที่ a<b
สมมติว่ามันไช่ b แต่ดันเป็นตัวอื่น c ละกัน เพราะฉะนั้นให้ c=sup(a,b)
เพราะฉะนั้นสมาชิกทุกตัวใน sub set นี้จะใหญ่ไม่เกิน c รวมทั้ง a,b ด้วย
เลยได้ a<b<c ด้วย แต่ด้วยความที่ว่า sup มันเป็น least upper bound คือเล็กสุดแล้ว
แต่จาก (b,c) มันเป็น sub set ที่ dense ใน R มันเลยมีสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัวในช่วงนี้
ที่ดันเล็กกว่า c สมมติว่าสมาชิกที่ว่าเป็น t ละกัน เลยได้ t ดันเป็น upper bound อีกตัว
ที่มีขนาดเล็กกว่า c ซึ่งก็สมมติไว้ว่า least สุดแล้ว ก็ขัดแย้ง
เพราะงั้นน่าจะสรุปได้ว่า upper bound ตัว least สุด ต้องเป็นปลายช่วงคือ b ก็จบ
ส่วนข้อที่ 2 มีคนเคยพิมพ์ไว้แล้วกระทู้ล่างๆ ลองไปหาดูนะครับ
ปล. ผมทิ้งคณิตมาเป็นปีแล้ว ผิดตรงไหน ไม่ make sense ตรงไหนก็ปรับตามความเหมาะสมนะครับ
