[rigor]

Let $Z$ be a proper subspace of an $n$-dimenstional vector space $X$, and let $x_0 \in X-Z$. Show that there is a linear functional f on $X$ such that $f(x_0)=1$ and $f(x)=0$ for all $x \in Z$.

ที่ผมลองทำคือกำหนด f แบบตรงๆเลย ถ้า $x \in Z$ แล้ว ให้ $f(x) = 0$ และถ้า $x \in X-Z$ แล้ว ให้ $f(x) = 1$ แล้วลองแบ่งกรณี $x,y$ อยู่หรือไม่อยู่ใน $Z$ แต่ทดลองเห็นว่าถ้า $x,y \in X-Z$ แล้ว $f(x+y) \not= f(x) + f(y) = 2$

ลองมองว่า basis ของ Z ชุดหนึ่ง $\{e_1, ..., e_r\}$ และ basis ของ X ชุดหนึ่ง $\{b_1, ..., b_n\}$ ซึ่ง $n > r$ แล้วเขียน $x$ เป็น linear combination ของ basis แต่ก็งงๆครับ ไปต่อไม่ถูก

ขอรบกวนด้วยครับ ขอบคุณมากๆครับ