[กิตติ]

23.จงพิสูจน์ว่า

$\dfrac{\sin A}{\cos A+\sin B} +\dfrac{\sin B}{\cos B-\sin A} =\dfrac{\sin A}{\cos A-\sin B} +\dfrac{\sin B}{\cos B+\sin A} $

นั่งทำจากทางซ้ายมือให้ออกไปทางขวามือ ไม่ง่าย เสียเวลาไปนานแถมยังไม่ออกอีก ลองจัดสมการให้เป็น

$\dfrac{sinA}{cosA+sinB} -\dfrac{sinA}{cosA-sinB} = \dfrac{sinB}{cosB+sinA}-\dfrac{sinB}{cosB-sinA}$

อย่างนี้น่าจะง่ายขึ้นหน่อย

$\dfrac{sinA}{cosA+sinB} -\dfrac{sinA}{cosA-sinB} = sinA\left(\,\dfrac{1}{cosA+sinB}-\dfrac{1}{cosA-sinB} \right) $

$=sinA\left(\,\dfrac{cosA-sinB-cosA-sinB}{cos^2A-sin^2B} \right) $

$=\dfrac{-2sinAsinB}{(1-sin^2A)-(1-cos^2B)} $

$=\dfrac{-2sinAsinB}{cos^2B-sin^2A}$

$=sinB\left(\,\dfrac{-2sinA}{(cosB-sinA)(cosB+sinA)} \right) $

จาก$\dfrac{1}{cosB+sinA} -\dfrac{1}{cosB-sinA}= \dfrac{-2sinA}{(cosB-sinA)(cosB+sinA)}$

จะได้ว่า $\dfrac{sinA}{cosA+sinB} -\dfrac{sinA}{cosA-sinB} = \dfrac{sinB}{cosB+sinA}-\dfrac{sinB}{cosB-sinA}$....ย้ายข้างจัดพจน์ก็ได้ตามที่โจทย์ต้องการพิสูจน์ว่า

$\dfrac{\sin A}{\cos A+\sin B} +\dfrac{\sin B}{\cos B-\sin A} =\dfrac{\sin A}{\cos A-\sin B} +\dfrac{\sin B}{\cos B+\sin A} $

ถ้าทำแบบทื่อๆอย่างที่ผมชอบทำก็เสร็จงมโข่งครับ เหมือนกับที่เขาให้พิสูจน์ว่า $a+b=c+d$ แต่เราจะไปพิสูจน์ว่า $a-d=c-b$ ซึ่งความหมายก็อันเดียวกัน ทำโจทย์ข้อนี้แล้วได้เปิดตาตัวเองเยอะเลยครับ ไม่ทราบว่าท่านอื่นมีวิธีพิสูจน์แบบอื่นบ้างไหมครับ เผื่อผมจะได้เปิดหูเปิดตาและเปิดกะลาบ้าง