[กิตติ]

ข้อ18.จงหาจำนวนเต็ม $a$ ทั้งหมดซึ่งทำให้สมการ $x^4-2x^3+3x^2+ax+2=0 $ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกคำตอบเดียว

ข้อนี้กินแรงเยอะเหมือนกัน....ผมคิดค่า $a$ ได้ 2 ค่า
ผมตีความโจทย์ว่าสมการนี้มี $(x-r)$ เป็นตัวประกอบและผลหารที่ได้นั้นไม่สามารถแยกออกมาในรูปของ$(x-b)(x-c)(x-d)$ ได้ นั่นคือผลหารนั้นไม่เป็นศูนย์จากการแทนค่าด้วยจำนวนเต็มใดๆ
ดังนั้นจะได้ว่า$r^4-2r^3+3r^2+ra+2=0$.....*

ให้.............$\dfrac{x^4-2x^3+3x^2+ax+2}{x-r} =x^3+mx^2+nx-\frac{2}{r} $

$x^4-2x^3+3x^2+ax+2=(x-r)(x^3+mx^2+nx-\frac{2}{r})$

$=x^4+(m-r)x^3+(n-mr)x^2-(\frac{2}{r}+nr)x+2$

จากนั้นก็เทียบสัมประสิทธิ์ออกมาได้
$m-r=\quad -2$......**

$n-mr=3$........***

$\frac{2}{r}+nr=-a \rightarrow nr^2+ar+2=0$........****

จาก * $ar+2=2r^3-r^4-3r^2$

จะได้ว่า**** $nr^2+2r^3-r^4-3r^2=0$

$r^2(r^2-2r+3-n)=0$

$r=\frac{2\pm \sqrt{4-4(3-n)} }{2} = 1\pm \sqrt{n-2} $.....ยังไง$n \geqslant 2 $ แน่ๆ
เราลองแทนค่า$n$ ไปเรื่อยๆแล้วดูค่าที่เกิดขึ้น
$n=2,\quad r=1,\quad m=-1,\quad a=-4$
$n=3,\quad r=2,\quad m=0,\quad a=-7$....ค่า$r=0$ ไม่ใช่รากที่เป็นจำนวนเต็มบวกจึงไม่นำมาใช้
$n=6,\quad r=-1,\quad m=-3,\quad a=8$....ค่า$r=3$ ไม่หยิบมาใช้เพราะเมื่อนำไปแทนแล้วไม่ได้สมการที่มีสัมประสิทธิ์ของ$x^4$ เป็นหนึ่งตามโจทย์กำหนด
$n=11,\quad r=-2,\quad m=-4,\quad a=23$....ค่า$r=4$ ไม่หยิบมาใช้เพราะเมื่อนำไปแทนแล้วไม่ได้สมการที่มีสัมประสิทธิ์ของ$x^4$ เป็นหนึ่งตามโจทย์กำหนด
$n=18,\quad r=5,-3$....ค่า $r$ ที่เกิดขึ้นทั้งสองค่านั้นเมื่อนำไปแทนแล้วทำให้สัมประสิทธิ์ของ$x^4$ ไม่เป็นหนึ่งตามโจทย์กำหนด
$n=27,\quad r=6,-4$....ค่า $r$ ที่เกิดขึ้นทั้งสองค่านั้นเมื่อนำไปแทนแล้วทำให้สัมประสิทธิ์ของ$x^4$ ไม่เป็นหนึ่งตามโจทย์กำหนด
สังเกตว่าหลังจากนี้ไปค่า$n$ ที่เพิ่มขึ้นทำให้เกิดค่า $r$ ที่ไม่สอดคล้องกับโจทย์ ดูง่ายๆคือ $r$ ไม่ได้เป็นตัวประกอบของ$2$....
ดังนั้นสมการที่ได้คือ
1.$x^4-2x^3+3x^2-4x+2=0 $.......รากคือ$1$.....ใช้ได้
2.$x^4-2x^3+3x^2-7x+2=0 $.......รากคือ$2$.....ใช้ได้
3.$x^4-2x^3+3x^2+8x+2=0 $.......รากคือ$-1$.....ตัดทิ้ง
4.$x^4-2x^3+3x^2+23x+2=0 $.......รากคือ$-2$.....ตัดทิ้ง
ถ้าอยากรู้ว่าทั้งสองสมการนี้มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกเพียงจำนวนเดียวหรือเปล่า ก็นำเอาจำนวนเต็มบวกที่เป็นตัวประกอบของ $2$ ซึ่งคือ $\pm1, \pm2 $ แทนให้ครบแล้วดูว่าค่าไหนที่ทำให้สมการเป็น $0$ ได้อีก

สรุป$a=-4,-7$