[กิตติ]

21.มีคู่ลำดับที่เป็นจำนวนนับของ $p,q$ กี่คู่ที่ $\dfrac{1}{p}+ \dfrac{1}{q}+ \dfrac{1}{pq}= \dfrac{1}{2553} $

$2553=3\times 23\times 37 $
$2554=2\times 1227$

$\dfrac{1}{p}+ \dfrac{1}{q}+ \dfrac{1}{pq}= \dfrac{p+q+1}{pq} =\dfrac{1}{2553} $

$2553p+2553q+2553=pq \rightarrow p=2553(\dfrac{1+q}{q-2553}) $

$p$ เป็นจำนวนเต็มเมื่อ 1. $q-2553=n(2553)$ โดยถ้า1.1 $n$ เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $q=(n+1)2553$ และ

$p=\dfrac{1+q}{n} =\dfrac{(n+1)2553+1}{n} =\dfrac{2554}{n} +2553$ ในกรณีนี้ค่า $n$ ที่ทำให้$p$ เป็นจำนวนเต็มคือ ตัวประกอบของ$2554$ คือ $1,2,1277,2554$
$n=1,p=5107,q=2553\times 2$
$n=2,p=3830,q=2553\times 3$
$n=1277,p=2553,q=1278 \times 2553$
$n=2554,p=2554,q=2555 \times 2553$
ได้ $4$ คู่

และ 1.2 $n$ เป็นเศษส่วน ให้$n=\frac{a}{b} $ เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $a<b$

$q-2553=\frac{a}{b}(2553) \rightarrow q=\frac{a+b}{b}(2553) = 2553+2553\frac{a}{b} $ จะเห็นว่า $b$ เป็นตัวประกอบของ $2553$

$p=\dfrac{1+q}{n} = \dfrac{b(1+\frac{a+b}{b}(2553))}{a} =\dfrac{2554b+2553a}{a} $

$p=2554\frac{b}{a} +2553$.....ดังนั้น $a$ เป็นตัวประกอบของ $2554$ หรือ $a$ เป็นตัวประกอบของ $b$

ค่าของ$b$ ที่เป็นไปได้คือ $3,23,37,3\times 23,3\times 37,23\times37,2553 $ ตามสูตรที่ท่องกันจะมีจำนวนนับที่หาร $2553$ ลงตัวเท่ากับ $8-1=7$ เราไม่นับเลข$1$
เมื่อ $a=1$ จับคู่ได้ $7$ ค่า
เมื่อ $a=2$ จับคู่ได้ $7$ ค่า
เมื่อ $a=1277$ จับคู่ได้ $1$ ค่า
เมื่อ $a=2554$ ไม่มีคู่จับ
สรุปมีค่า $(a,b)$ ทั้งหมด $15$ ค่า
$a=1277,b=2553,p=3\times 2553,q=3830$
$a=2,b=3,p=6384,q=2553\times 853$
$a=2,b=23,p=1277\times 23,q=112\times 2553$
$a=2,b=37,p=1277\times 37,q=70\times 2553$
$a=2,b=3\times 23,p=1277\times 3\times 23,q=75\times 2553$
ท่าทางจะคูณไม่ไหว แต่เท่าที่ดูยังไม่มีพจน์ที่ซ้ำกัน
เช่นเดียวกับ $a=1,b=3,p=2554 \times 3 +2553,q=2553\times 852$
สำหรับ$a=1$....จับคู่ได้อีก $7$ คู่
รวมทั้งหมดในกรณีนี้ได้เท่ากับ $15$ คู่
กรณี 2 คือ $q-2553=m(1+q)$ แล้ว โดย
2.1 $m$ เป็นจำนวนเต็ม
$p=\frac{2553}{m} $ เมื่อ$p$เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $m$ เป็นตัวประกอบของ$2553$ ได้แก่ $1,3,23,37$
$q=\frac{m+2553}{1-m} $ ค่า$m$ ที่เป็นไปได้ข้างต้น ไม่ทำให้$q$ เป็นจำนวนนับ ดังนั้นกรณีนี้จึงเป็นไปไม่ได้
2.2 $m$ เป็นเศษส่วน ให้$m=\frac{c}{d} $ เมื่อ $c,d$ เป็นจำนวนเต็มและ $c<d$


กรณี 3 คือ $q-2553=r$ แล้ว $r$ เป็นตัวประกอบของ $2553$
$r=1,3,23,37,69,111,851,2553$
$p=\frac{2553}{r}(1+r)$
$r=1,q=2554,p=2\times 2553$
$r=3,q=2556,p=3404$
$r=23,q=2576,p=2664$
$r=37,q=2590,p=38\times 3 \times 23$
คูณไม่ไหวอีกเหมือนกัน.....ดังนั้นได้อีก 8 คู่

รวมทั้งสามกรณีได้ทั้งหมดเท่ากับ $15+8+4 =27$ คู่