[กิตติ]

25.$x,y,z$เป็นจำนวนจริงบวกและมีอย่างน้อย2ตัวที่เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับ $x^2+y^2+z^2=50$ ให้หา $x,y,z$

ข้อนี้ผมใช้วิธีพิจารณาเงื่อนไข นึกไม่ออกว่าจะใช้ความรู้อื่นยังไง
เรารู้ว่า$7^2=49$ ถ้าตัวแปรตัวใดเท่ากับ $7$ แล้วที่เหลือคือ เป็น$0,1$ ซึ่งขัดกับที่โจทย์กำหนด เพราะ 0 ไม่ใช่จำนวนจริงบวก ดังนั้นต้องลดมาพิจารณาที่ $6^2=36$ ดังนั้นผลบวกที่เหลือคือ$50-36 =14$ เราก็ต้องหากำลังสองสมบูรณ์ที่ใกล้เคียงคือ $9,4,1$ ส่วนตัวสุดท้ายยังไงก็เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้นเราได้เซตตัวเลขมาเป็น
$\left\{\,6,3,\sqrt{5}\right\} ,\left\{\,6,2,\sqrt{10} \right\} ,\left\{\,6,1,\sqrt{13} \right\} $
ลดมาดูที่$5^2=25$ ผลลัพธ์ที่เหลือคือ $50-25=25$ เหลือกำลังสองสมบูรณ์คือ$16,9,4,1$
ลดมาดูที่$4^2=16$ ผลลัพธ์ที่เหลือคือ $50-16=34$ เหลือกำลังสองสมบูรณ์คือ$25,16,9,4,1$
ลดมาดูที่$3^2=9$ ผลลัพธ์ที่เหลือคือ $50-9=41$ เหลือกำลังสองสมบูรณ์คือ$36,25,16,9,4,1$
ลดมาดูที่$2^2=4$ ผลลัพธ์ที่เหลือคือ $50-4=46$ เหลือกำลังสองสมบูรณ์คือ$36,25,16,9,4,1$
ลดมาดูที่$1^2=1$ ผลลัพธ์ที่เหลือคือ $50-1=49$ เหลือกำลังสองสมบูรณ์คือ$36,25,16,9,4,1$
หักกรณีที่ซ้ำกันเหลือ
$\left\{\,5,4,3\right\} ,\left\{\,5,2,\sqrt{21} \right\} ,\left\{\,5,1,2\sqrt{6} \right\} $
$\left\{\,4,4,3\sqrt{2} \right\} ,\left\{\,4,2,\sqrt{30} \right\},\left\{\,4,1,\sqrt{33} \right\} $
$\left\{\,3,3,\sqrt{32} \right\} ,\left\{\,3,2,\sqrt{37} \right\},\left\{\,3,1,2\sqrt{10} \right\} $
$\left\{\,2,2,\sqrt{42} \right\} ,\left\{\,2,1,3\sqrt{5} \right\} $
$\left\{\,1,1,4\sqrt{3} \right\} $

ได้ทั้งหมด $15$ ชุด เราเรียงค่าสลับไปได้ออกมาเป็นทั้งหมด $11\times 6+12=78$ ชุด