[Pitchayut]

37. เพราะว่า $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$ (พิสูจน์เอง) และ $641=25^2+4^2$

ดังนั้น $2^N+1=(25^2+4^2)(2556^2+409^2)=(25\times 2556+4\times 409)^2+(25\times 409-4\times 2556)=65536^2+1^2=2^{32}+1$

ซึ่งทำให้ $N=32$ ตอบข้อ 3 ครับ