ข้อ 5 นะครับ.
\( \fbox{จำนวนจัดหมู่ตัวอักษรครั้งละ 4 ตัวกับจำนวนเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร ครั้งละ 4 ตัว ในคำว่า PROPORTION ต่างกันเท่าไร} \)
พิจารณาอักษร
P, P,
R, R,
O, O, O, T, I, N
การจัดหมู่ : จะแบ่งออกเป็น 4 กรณีคือ
กรณีที่ 1 อักษร 4 ตัว ต่างกันหมด ทำได้ \({6 \choose 4} \, \) วิธี
กรณีที่ 2 อักษรซ้ำกัน 3 ตัว ทำได้ \({1 \choose 1}{5 \choose 1 \,} \) วิธี
กรณีท่ 3 อักษรซ้ำกัน 1 คู่ 2 ชุด ทำได้ \({3 \choose 2} \, \) วิธี
กรณีที่ 4 อักษรซ้ำกัน 1 คู่ อีก 2 ตัวต่างกัน ทำได้ \( {3 \choose 1}{5 \choose 2} \, \) วิธี
การเรียงสับเปลี่ยน : ก็จะแบ่งเป็น 4 กรณี เช่นกัน คือ
กรณีที่ 1 อักษร 4 ตัว ต่างกันหมด ทำได้ \({6 \choose 4}4! \, \) วิธี
กรณีที่ 2 อักษรซ้ำกัน 3 ตัว ทำได้ \({1 \choose 1}{5 \choose 1\frac{4!}{3!} \,} \) วิธี
กรณีท่ 3 อักษรซ้ำกัน 1 คู่ 2 ชุด ทำได้ \({3 \choose 2}\frac{4!}{2! 2!} \, \) วิธี
กรณีที่ 4 อักษรซ้ำกัน 1 คู่ อีก 2 ตัวต่างกัน ทำได้ \( {3 \choose 1}{5 \choose 2}\frac{4!}{2!} \, \) วิธี
\ จำนวนวิธีจะต่างกันอยู่ \( {6 \choose 4}(4! - 1) + \cdots \,\)
ข้อ 4 ถ้าเป็นผมจะทำแบบนี้ครับ.
\[\frac{1 +\sin x}{5 + 4\cos x} = \frac{t^2 + 2t + 1 }{t^2 + 9} , \quad t = \tan \frac{x}{2} \]
สมมติให้ \[ \frac{t^2 + 2t + 1 }{t^2 + 9} = y \Rightarrow (y-1)t^2 - 2t + (9y - 1) = 0 \]
ซึ่งจะมีค่าเมื่อ \(b^2 - 4ac \geq 0 \Rightarrow 4 - 4(y-1)(9y-1) \geq 0 \iff y(9y - 10) \leq 0 \iff 0 \leq y \leq \frac{10}{9}\)
นั่นคือ ค่าต่ำสุดและสูงสุดของ y คือ 0 และ 10/9 ตามลำดับ