เรขา ข้อ 1
ใช้ Well known lemma ที่บอกว่า AB ตั้งฉากกับ CD ก็ต่อเมื่อ $ AC^2-AD^2 = BC^2 -BD^2$ (Easy to verify by Pythagoras)
จากนั้น เพื่อให้เส้นมันไม่อีรุงตุงนัง วาดรูปทีละครึ่งครับ โดยวาดเฉพาะฝั่ง M ก่อน
จากสามเหลี่ยมมุมฉาก AMB จะได้ $ AM^2 = BM^2 - AB^2 $
และจาก ฺBO แบ่งครึ่งมุม B และ Law of cosine of สามเหลี่ยม CMB จะได้
$ CM^2 = MB^2 + BC^2 -2(MB)(BC)\cos \frac{B}{2} = MB^2 + BC^2 -2(MB)(BC)\Big (\frac{AB}{MB}\Big) = MB^2 + BC^2 -2(AB)(BC)$
Now $AM^2 - CM^2 = -(AB-BC)^2$
ในทำนองเดียวกันกับฝั่ง N จะได้ $ AN^2 - CN^2 = -(AD-DC)^2$
และเพราะสี่เหลี่ยม มีวงกลมแนบใน ดังนั้น ผลบวกด้านตรงข้ามยาวเท่ากัน นั่นคือ $ AB-BC = AD-DC$
สรุปว่า $ AM^2 - CM^2 = AN^2 -CN^2 \Rightarrow MN \bot AC $
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|