อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii
11. จงหาจำนวนตรรกยะทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ
$$x^3+3y^3+9z^3=9xyz$$
Hint : Field Theory may help.
|
11. My Solution : Let $\displaystyle{ a= x, b=\sqrt[3]{3}y,c=\sqrt[3]{9}z.}$ Then we have
$$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3+b^3+c^3 - 3abc=0.$$
Thus $a+b+c=0$ or $a=b=c.$
Case 1 : $a+b+c=0.$ Note that $Q(\sqrt[3]{3})$ is a field and it can be viewed as a 3-dimensional vector space over $Q$ with basis $1,\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{9}$. Thus $a+b+c=0$ implies $x=y=z=0$ by linear independence of $1,\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{9}.$
Case 2 : $a=b=c$. Then we have $\displaystyle{ x = \sqrt[3]{3}y=\sqrt[3]{9}z.}$
If $y\neq 0$ then $\displaystyle{ \sqrt[3]{3}= \frac{x}{y}}$ is rational which is a contradiction. Hence $x=y=z=0.$
Therefore $x=y=z=0$ is the only rational solution of this equation.
12. ผมก็ยังคิดไม่ออกเหมือนกันครับ เผอิญเพื่อนเอามาถามเห็นว่าน่าสนใจเลยลองเอามาถามดูครับ ตอนแรกผมคิดว่าคิดออกแล้วโดยนิยาม $\displaystyle{ x*y = x+y+\frac{1}{2} }$(mod 1) ซึ่งเป็นการดำเนินการทวิภาคแบบเดียวกับที่คุณ Warut ยกตัวอย่างมา ดีใจไปได้ซักพักผมพบว่าการดำเนินการทวิภาคตัวนี้ไม่มีคุณสมบัติปิดครับ
เพราะ $\displaystyle{\frac{1}{4}*\frac{1}{4} = 0\notin (0,1)}$
Edit (warut): quote โจทย์