พิสูจน์โดยใช้ contradiction นะครับ
สมมติให้ \(f:\mathbb Q\to\mathbb Z\) เป็น strictly monotone bijection
ให้ \(g:\mathbb Z\to\mathbb Q\) เป็น inverse ของ f ดังนั้น g จึงเป็น strictly monotone function ด้วย
นั่นคือ g เป็นฟังก์ชันที่เรียงลำดับค่าของจำนวนตรรกยะทั้งหมดได้ แต่เรารู้ว่าไม่มีฟังก์ชันเช่นนั้นอยู่จริง จึงเกิดข้อขัดแย้งขึ้น
ขยายความ: ถ้า \(g:\mathbb Z\to\mathbb Q\) เป็น strictly monotone bijection
ให้ \(g(1)=a\) และ \(g(2)=b\)
เรารู้ว่า \((a+b)/2\in\mathbb Q\) มีค่าอยู่ระหว่าง a กับ b แต่เราไม่มี \(x\in\mathbb Z\) ที่มีค่าอยู่ระหว่าง 1 กับ 2 ที่จะทำให้ \(g(x)=(a+b)/2\) ได้ ดังนั้นจึงไม่มีฟังก์ชันเช่นนั้นอยู่จริง
ไม่รู้ผมอธิบายวกวนเกินความจำเป็นไปหรือเปล่า
