อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TitanTS
^
^
แล้วคุณคิดว่าได้ไงอะครับ
ผมว่าแนวคิดผมก็คงคล้ายกับการพิสูจน์ของคุณนะครับ
สังเกตว่า $5^2=3^2+4^2=5^2+0^2$ แต่ใช้แทน $u,v$ ได้แค่ $5^2=3^2+4^2$
ทีนี้เอา $5^2$ มาคูณได้
$(5^2)(5^2)=(3^2+4^2)(3^2+4^2)=(3^2+4^2)(5^2+0^2)$
$=(3*3+4*4)^2+(3*4-4*3)^2= (3*4+4*3)^2+(4*4-3*3)^2=(3*5+0)^2+(5*4-0)^2=(4*5+0)^2+(3*5-0)^2$
$=25^2+0^2=24^2+7^2=15^2+20^2=15^2+20^2$
ซึ่งจะเห็นได้ว่ามันก็มี ซ้ำกันบ้างแต่การคูณคู่หนึ่งน่าจะทำให้เราได้คู่ $(u,v)$ ที่ต่างกันอย่างน้อยคู่หนึ่ง
ข้อนี้ผมก็อยากจะตอบอย่างงีเหมือนกันครับแต่มันติดตรงที่คุณ Switchgear เขาบอกว่าเน้นใน $\mathbb{N} $ ดังนั้น เราก็ต้องหาต่อไปว่า $b_i=\frac{1}{4x_iy_i\left(x_i^2-y_i^2\right)}$ จะเป็นจำนวนนับเมื่อใดบ้าง
|
ก็คือว่า แล้วจะแสดงยังไงให้เป็นรูปธรรมว่ามันจะมีชุดที่มันแตกต่างกันจริงๆล่ะครับ? เพราะที่ผมแสดงก็คือถึงแม้มันอาจจะมีซ้ำกันบ้างก็ตาม แต่เราสามารถแสดงได้ว่า มีชุดจำนวนเต็มบวก $x_i,y_i$ ที่ $5^{2n}=x_i^2+y_i^2$ และ $5^{i-1}||x_i,5^{i-1}||y_i$ นั่นคือจะมีจำนวนชุดที่แตกต่างกันอย่างน้อย $n$ ชุดครับ
ส่วนข้อ 9 ขอเวลาไปทำก่อนครับ ตอนแรกนึกว่าโจทย์ต้องการคำตอบใน $\mathbb{Q}$
ป.ล. $b_i=\frac{1}{4x_iy_i\left(x_i^2-y_i^2\right)}$ ไม่เป็นจำนวนเต็มอยู่แล้วครับ เพราะส่วนมีค่ามากกว่า 1