ผมขอประเดิมด้วยข้อ 3 ก่อนละกันครับ
$a^5(b-c)+b^5(c-a)+c^5(a-b)+abc(a-b)(b-c)(c-a)=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$
ก่อนอื่นสังเกตว่า ถ้า $b=c$ แล้ว $LHS = 0$ ดังนั้น $b-c$ เป็นตัวประกอบหนึ่ง
ต่อไปมองทั้งหมดให้เป็นพหุนามในตัวแปร $a$
จากการสุ่มแทนค่าจะพบว่า $a=b,c,-(b+c)$ จะเป็นรากของพหุนาม(ในตัวแปร $a$) เราจึงสามารถเขียน
$LHS = (b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)(a^2+pa+q)$
แทนค่า $a=0$ เราจะได้สมการ
$b^5c-bc^5=bc(b-c)(b+c)q\Rightarrow bc(b-c)(b+c)(b^2+c^2)=bc(b-c)(b+c)q$
ดังนั้น $q=b^2+c^2$
จากการเทียบสัมประสิทธิ์ของเทอม $a^4$ เราจะพบว่า $p=0$
ดังนั้น $LHS=(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$
Note : ตอนสุ่มแทนค่า $a=b,c$ อาจจะพอเดาออกครับ ส่วน $a=-(b+c)$
ต้องอาศัยลองผิดลองถูกอยู่นานเหมือนกัน ซึ่งตรงจุดนี้ถ้าเราหาว่า $-(b+c)$ เป็นรากอีกตัวไม่ได้เราอาจจะสมมติให้
$LHS=(b-c)(a-b)(a-c)(a+r)(a^2+pa+q)$
ก็ได้ครับ แล้วเทียบสัมประสิทธิ์หาค่า $p,q,r$ อีกที
