นี่มัน IMO 2005 ข้อ 4 นี่นา
ถ้า \(p\ge5\) เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ว่า \(p\mid2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1\) เพราะ p หาร
\[6\cdot(2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1)=3\cdot2^{p-1}+2\cdot3^{p-1}+6^{p-1}-6\]ลงตัว (โดย Fermat's Little Theorem) และเนื่องจาก 6 หาร \(a_2=48\) ลงตัว ดังนั้นคำตอบจึงมีเพียงตัวเดียวคือ 1
ข้อต่อไปขอเป็นโจทย์มาตรฐานละกัน
8. ให้พิสูจน์ว่า ตัวประกอบทุกตัวของจำนวนที่อยู่ในรูป \(2^{\displaystyle{2^n}}+1\) (n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0) จะต้องอยู่ในรูป \(k\cdot2^{n+1}+1\) (k เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0)
|