[Thamma]

ให้ $(b_1,b_2,...,b_n)$ เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของ $(a_1,a_2,...,a_n)$

และ $U = \{b_1, b_2, b_1 + b_2, b_1 + b_2 + b_3, ..., b_1+b_2+...+b_n \}$

จาก $\mid U \mid = n+1$ โดยหลักรังนกพิราบ จะมี $A, B \in U$ ซึ่ง $A \equiv B (\bmod n)$

กรณีที่ 1 : $\mid A \mid = \mid B \mid$

$A = b_1 , B = b_2 $

1.1 $b_1 = b_2$ imply $a_i = a_j \;\;\forall\; i, j \in \{1, 2, ..., n\} $

จะได้ $ a_1 = a_2 = ... = a_n = 2$

1.2 $b_1 \not= b_2$ imply $a_i \not= a_j $

WLOG, $a_i < a_j$ จะได้ $a_j - a_i > 0$

จาก $a_1+a_2+...+a_n=2n$ และ $A \equiv B (\bmod n)$ จะได้ $a_j = a_i + n$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะทำให้ $a_j \geq n+1$