[artty60]

ตอนที่2
ข้อ1.
$\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{6}$

$6(a+b)=ab$

$a=\frac{6b}{b-6}$ เห็นได้ชัดว่า $a,b>6$

ดังนั้น $(a-6)(b-6)=36$

$36=(2^2)(3^2)$ ดังนั้น ตัวประกอบของ 36 มี 9 ตัว คือ$ 1,2,3,4,6,9,12,18,36$

ทั้ง a และ b $=\left\{\,\right. 7,8,9,10,12,15,18,24,42\left.\,\right\} $

ดังนั้น (a,b) มี 18 คู่ แต่หักที่ซ้ำกันคือ (12,12) จึงเหลือ 17คู่ เป็นคำตอบ

ข้อ2.
เนื่องจากมีหนึ่งคู่ที่ต่างกันอยู่1 นั่นคือ $a_1 ; a_2=a_1+1$ และ $a_n=a_1+n$

ดังนั้น$ (a_1-1)(a_n-n=a_1+n-n=a_1)=a_1(a_1-1)$ ซึ่งเป็นจำนวนที่เรียงกันผลคูณจึงเป็นจำนวนคู่

เพราะฉะนั้นผลคูณของ $(a_1-1)(a_2-2)(a_3-3)...(a_n-n)$ จึงเป็นจำนวนคู่ เป็นคำตอบ

ข้อ3. ให้ด้านสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับa A เป็นจุดยอดร่วมของ สามเหลี่ยมP,Q ซึ่งเป็นสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ

ให้ฐานของสามเหลี่ยมPและQเท่ากับx ดังนั้นฐานและส่วนสูงของสามเหลี่ยมRเท่ากับ $a-x$

พื้นที่สามเหลี่ยม$ R=\frac{1}{2}(a-x)^2$ พื้นที่สามเหลี่ยม $P+Q=ax$

แต่ด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า $2(a-x)^2=a^2+x^2=(a-x)^2+2ax\rightarrow (a-x)^2=2ax$

$\therefore P+Q=R\quad Q.E.D.$