[แม่ให้บุญมา]

โจทย์ที่มีเด็กโอลิมปิคฝากมาถามในกลุ่ม คณิต
$2013^{2012^{2011}}$ มีเศษ 2 หลักต่ำสุดเท่ากับเท่าใด
ตอบ 21 ดังนี้

$2013^{{2012}^{2011}} (mod 100)$
$\equiv [2013(mod 100)]^{{2012}^{2011}}$
$\equiv [13^{{2012}^{2011}}](mod 100)$
$\equiv [13 ^{({2012}^{2011})(mod 20)}] (mod 100)$
$\equiv 13^{12^{2011}} mod (100)$
$\equiv [13^{12^{2011 (mod 20)}}] (mod 100)$
$\equiv 13^{(12^{11} (mod 100)} (mod 100)$
$\equiv 13^{88} (mod 100)$
$\equiv 13^{88 (mod 20)} (mod 100)$
$\equiv 13^{8} (mod 100)$
$\equiv (13^{3})^{2}3^2 (mod 100)$
$\equiv 2197^{2}3^2 (mod 100)$
$\equiv (-3)^{2}3^2 (mod 100)$
$\equiv 9(169) (mod 100)$
$\equiv 21$

จากการลองยกกำลังของ 12 และ 13 จะมีเศษซ้ำสำหรับกำลังที่เพิ่มขึ้น ทุกๆ 20
มีใครทราบไหมครับว่าเพราะอะไร