[Mr.Com]

ยังไม่ถูกนะครับ
first countable space อาจจะไม่เป็น metric space ก็ได้

สำหรับคำถามทั้ง 2 ข้อนั้น เป็นทฤษฎีบทพื้นๆ ทาง topology ถ้าพิสูจน์เองไม่ได้ พยายามหาในหนังสือ ก็น่าจะเจอแล้วครับ