Day 1:Problem 4 Let $n$ be a positive integer and $$T_n=1+2+...+n$$ Find all triples $(p,q,r)$ such that $p,q$ is prime and $r$ is a natural number with $T_p+T_q=T_r$ holds
เราจะได้ว่า $r<p+q \Rightarrow r-q<p$ โดยไม่เสียนัยทั่วไปให้ $p\geqslant q$
จากโจทย์ $T_p+T_q=T_r$ ก็เขียนได้อีกแบบคือ $\frac{p(p+1)}{2}+\frac{q(q+1)}{2}=\frac{r(r+1)}{2} \Rightarrow p^2+p+q^2+q=r^2+r \Rightarrow p(p+1)=(r-q)(r+q+1) $
แต่จาก $r-q<p$ ทำให้ได้ $p\nmid (r-q) $ และได้ว่า $p|(r+q+1)\Rightarrow p|(p+q+r+1)$
ในทำนองเดียวกันจะได้ $q|(p+q+r+1) \Rightarrow pq|(p+q+r+1) \Rightarrow pq\leqslant p+q+r+1<2p+2q+1\leqslant 4q+1 < 5q $
จะได้ $pq<5q \Rightarrow p<5 \Rightarrow p=2,3 $ เท่านั้น
case 1. ถ้า $p=2$ จาก $p\leqslant q$ได้ว่า $q=2$ เมื่อแทนค่าไปจะได้ $r=3$
case 2. ถ้า $p=3$ จาก $pq<2p+2q+1 \Rightarrow 3=p\leqslant q<7$ ทำให้ได้ว่า $q=3,5$ เมื่อแทนค่าจะได้ว่า $q=5 \Rightarrow r=6$ เป็นคำตอบ
กรณี $p>q$ ก็จะได้ $p=5,q=3\Rightarrow r=6$
ดังนั้น$(p,q,r)=(2,2,3),(3,5,6),(5,3,6)$ เท่านั้น