[Beatmania]

เห็นน้องมาร์คทำวันแรกแล้ว ขอทำวันที่สองแบบย่อๆแล้วกันครับ

Problem 6

ใช้ $AH^2+BC^2=BH^2+AC^2+CH^2+AB^2=4R^2$

Problem 7

$$512x^2+x+1=\frac{y-1}{5}(y^4+y^3+y^2+y+1)$$

Problem 8

WLOG ให้ $c^2=a^2+b^2$
$$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc} \geq\frac{0.5(a+b)\sqrt{a^2+b^2} +(a^2+b^2)}{ab} \geq2+\sqrt{2}$$

Problem 9

ให้ $P(x,y)$ แทน $f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$

ดู $P(1,y),P(1,f(1)+f(y))$

ใช้สมบัติจำนวนตรรกยะที่ว่า ทุกๆ จำนวนตรรกยะบวก $x$ จะมีจำนวนนับ $k_x$ ที่ทำให้ $k_x(x+f(x))$ เป็นจำนวนนับ

Problem 10

หาจุดที่มีระยะห่างจากจุด Lattice แตกต่างกันทั้งหมดแล้วขยายวงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุดนั้นไปเรื่อยๆ

ซึ่งก็สมเหตุสมผลที่จะพิจารณาวงกลมที่มีศูนย์กลางเป็น $(\mathbb{Q}',\mathbb{Q}')$

ขอลงวิธีทำข้อ 9 แบบเต็มๆ นะครับ เพราะชอบไอเดียข้อนี้ครับๆ

Problem 9 Full Solution

สำหรับจำนวนตรรกยะบวก $x,y$ ให้ $P(x,y)$ แทน $f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$

$P(1,y):=f(f(1)+f(y))=f(1)^2+y$

$P(1,f(1)+f(y)):= f(f(1)+f(f(1)+f(y)))=f(1)^2+f(1)+f(y) \rightarrow f(f(1)+f(1)^2+y)=f(1)+f(1)^2+f(y)$

ให้ $f(1)+f(1)^2=T$ แสดงได้ไม่ยากโดยใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ ได้ว่า

ถ้า $n$ เป็นจำนวนนับ และ $y$ เป็นจำนวนตรรกยะบวก แล้ว $f(nT+y)=nT+f(y)$

จากที่ $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow\mathbb{Q}^+$ ดังนั้น ถ้า $x\in\mathbb{Q}^+$ แล้ว $x+f(x)\in\mathbb{Q}^+$ ดังนั้น ทุกๆ $x\in\mathbb{Q}^+$ จะมี $k_x\in\mathbb{N}$ ที่ทำให้ $k_x(x+f(x))\in\mathbb{N}$

$P(x+Tk_x,y):=f((x+Tk_x)f(x+Tk_x)+f(y))=f(x+Tk_x)^2+y$

$$f((x+Tk_x)[Tk_x+f(x)]+f(y))=[f(x)+Tk_x]^2+y$$

$$f(Tk_x[Tk_x+f(x)+x]+xf(x)+f(y))=T^2k_x^2+2Tk_xf(x)+f(x)^2+y$$

จากที่ $k_x(x+f(x))\in\mathbb{N}$ ดังนั้น $k_x[Tk_x+f(x)+x]\in\mathbb{N}$ ทำให้

$$Tk_x[Tk_x+f(x)+x]+f(xf(x)+f(y))=T^2k_x^2+2Tk_xf(x)+f(x)^2+y$$

$$T^2k_x^2+Tk_xf(x)+Tk_xx=T^2k_x^2+Tk_xf(x)+Tk_xf(x)$$

$$x=f(x)$$