อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine
2)กระป๋องรูปทรงกระบอกมีฝาปิดปริมาตร 1 ลิตร จงบอกความยาวรัศมี และความยาวส่วนสูงที่ทำให้ใช้โลหะ (พื้นผิว) น้อยที่สุด (แนะนำ : $1000 (L) = 1 (m^3)$)
|
เฉลยข้อนี้ให้ละกัน ข้อนี้ก็ต้องใช้อนุพันธ์มาหาค่าต่ำสุด แล้วก็เช็คอีกทีด้วยอนุพันธ์อันดับสอง ว่าเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
เพื่อความรวดเร็ว ผมเชื่อว่าหลายคนคงจะรู้จัก AM-GM ดี จึงขอใช้เพื่อความสะดวก ดังนี้
อ้างอิง:
สำหรับจำนวนจริงบวก $a_1,a_2,...,a_n$ ทั้ง $n$ ตัว จะสอดคล้องอสมการ
$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2 \cdots a_n}$$
โดยสมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $a_1=a_2=\cdots=a_n$
|
ให้รัศมีฐานและส่วนสูงยาว $r,h$ เมตร ตามลำดับ
ปริมาตรคือ $10^{-3}$ $m^3$ เขียนสมการได้เป็น $\pi r^2h = \dfrac{1}{1000}$
หรือก็คือ $h=\dfrac{1}{1000 \pi r^2}$ แทนลงไปในสูตรพื้นที่ผิว $f(r)$ เป็น
$$f(r)=2 \pi r^2 + \frac{1}{500r}$$
โดย AM-GM ได้ว่า
$$f(r)=2 \pi r^2 + \frac{1}{1000r}+\frac{1}{1000r} \ge 3\sqrt[3]{\frac{2 \pi}{10^6}}$$
ผลที่ได้คือ พื้นผิวน้อยสุดเกิดเมื่อ $2 \pi r^2 = \dfrac{1}{1000r}$ หรือก็คือ $r=\dfrac{1}{10 \sqrt[3]{2 \pi}}$ และได้ $h=\dfrac{1}{\sqrt[3]{250 \pi}}$ ในหน่วยเมตร
(จะใช้อนุพันธ์คำตอบก็เท่ากันครับ
)