ผมก็ทำแบบเด็กนะครับ
ขอเสริมแนวคิดของคุณ Thamma นิดนึงนะครับ
เนื่องจากเราทราบว่า เศษจากการหารจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ใด ๆ ด้วย 4 จะเหลือเศษ 0 หรือ 1 เท่านั้น
และเนื่องจาก 147 หารด้วย 4 เหลือเศษ 3 แสดงว่า $a, b, c$ จะต้องเป็นจำนวนคี่พร้อมกันทั้งสามตัวเท่านั้น
อีกวิธี
โดยไม่เสียนัยทั่วไป เราอาจจะสมมติให้ $a \le b \le c \Rightarrow a^2 \le b^2 \le c^2$
โดยอสมการจัดเรียง (Rearrangement Inequality)$$\overline{x}\overline{y} \le \overline{xy}$$
และจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $x_1 = x_2 = ... x_n , y_1 = y_2 = ... y_n,$
ดังนั้นจะได้ว่า $\frac{a+b+c}{3}\cdot \frac{a^2+b^2+c^2}{3} \le \frac{a^3+b^3+c^3}{3}$
หรือ $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \le 3(a^3+b^3+c^3)$
จะเห็นว่า $L.H.S = 21 \times 147 = R.H.S. = 3\times 1027$ แสดงว่าจะต้องเป็นสมการ ซึ่งจะเกิดเมื่อ $a = b = c$
-----------
ข้อที่ 20. ผมคิดว่าน่าจะเป็น $\frac{17}{36}$ มากกว่าครับ เพราะมุมที่ส่วนโค้งที่น้อยสุดที่เราเดินไปแนวโค้งคือ $170^\circ$ ไม่ใช่ $180 ^\circ$