มีเฉพาะของวันแรกนะครับ จะทยอยพิมพ์จนครบครับ มี 4 ข้อ
ข้อสอบ SMO 2013
10th Southeast Mathematical Olympiad
First Day 2013/07/27 08:00-12.00
Yingtan No1. Highschool. Yingtan, Jiangxi China
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. (ENG)Let a, b be real numbers. The equation $x^3-ax^2+bx-a = 0$ has three real roots.
Find the minimum value of $\frac{2a^3-3ab+3a}{b+1}$
1. (ไทย) กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง สมการ $x^3-ax^2+bx-a = 0$ มีรากที่เป็นจำนวนจริง 3 ค่า
จงหาต่ำสุดของ $\frac{2a^3-3ab+3a}{b+1}$
3. (ENG) A sequence $\{a_n\}$ sastisfies that
$a_1=1, a_2 = 2, a_{n+1} = \frac{a_n^2+(-1)^n}{a_{n-1}}$ , $(n=2, 3, ...)$
Prove that the sum of the square of any two numbers in the adjacent terms is in this sequence.
3. (ไทย) ลำดับ $\{a_n\}$ ซึ่งสอดคล้องกับ
$a_1=1, a_2 = 2, a_{n+1} = \frac{a_n^2+(-1)^n}{a_{n-1}}$ , $(n=2, 3, ...)$
จงพิสูจน์ว่า ผลบวกของกำลังสองของสองจำนวนใด ๆ ที่อยู่ติดกันในลำดับนี้ จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนที่อยู่ในลำดับนี้
4. นักกีฬา 12 คน มีหมายเลข 1, 2, 3, ... , 12 ตามลำดับ ถูกแบ่งออกเป็น 2 กลุ่ม คือ A กับ B โดยแต่ละกลุ่มมี 6 คน นักกีฬาในกลุ่ม A ยืนเป็นรูปวงกลมวงหนึ่ง และ นักกีฬาแต่ละคนในกลุ่ม B จะยืนบนไหล่นักกีฬา 2 คนที่ยืนติดกันของกลุ่ม A ถ้าหมายเลขของนักกีฬาแต่ละคนในกลุ่ม B เท่ากับผลรวมของหมายเลขของนักกีฬาสองคนที่ยืนอยู่ใต้เท้าเขาเสมอ จะเรียกการยืนแบบนี้ว่า หอคอย จงหาจำนวนหอคอยทั้งหมดที่แตกต่างกัน
(วงกลมที่จัดในทิศตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา นับเป็นหอคอยแบบเดียวกัน ตัวอย่างเช่นนักกีฬา 8 คน เราเขียนแสดงหมายเลขของนักกีฬากลุ่ม A อยู่ด้านในวงกลม และหมายเลขของนักกีฬากลุ่ม B อยู่ด้านนอกวงกลม ทั้งสามรูปถือว่าเป็นหอคอยเดียวกัน)