อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut
แวะมาเพิ่มอสมการกึ่งสำเร็จรูปให้
1. $(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^k\leq n^{k-1}(a_1^k+a_2^k+a_3^k+...+a_n^k)$
เป็นผลโดยตรงจากอสมการ jensen เมื่อใช้กับฟังก์ชันนูน $f(x)=x^n$ หรือใช้ Power Mean พิสูจน์ก็ได้
2. $a_1 \sqrt{b_1}+a_2\sqrt{b_2}+a_3\sqrt{b_3}+...+a_n\sqrt{b_n}\leq \sqrt{(a_1+a_2+a_3+...+a_n)(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_nb_n)}$
เป็นผลโดยตรงจากรูปทั่วไปอสมการ jensen เมื่อใช้กับฟังก์ชันเว้า $f(x)=\sqrt{x}$
3. $\dfrac{1}{a_1+b_1}+\dfrac{1}{a_2+b_2}+\dfrac{1}{a_3+b_3}+...+\dfrac{1}{a_n+b_n}\leq \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+...+\dfrac{1}{a_n}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b_1}+\dfrac {1}{b_2}+\dfrac{1}{b_3}+...+\dfrac{1}{b_n}\right)$
เขียนอสมการที่ต้องการให้กลายเป็น
$\dfrac{2}{\dfrac{1}{\dfrac{1}{a_1}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{b_1}}}+\dfrac{2}{\dfrac{1}{\dfrac{1}{a_2}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{b_2}}}+ \dfrac{2}{\dfrac{1}{\dfrac{1}{a_3}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{b_3}}}+...+\dfrac{2}{\dfrac{1}{\dfrac{1}{a_n}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{b_n}} }\geq \dfrac{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{b_1}}{2}+\dfrac{\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{b_2}}{2}+\dfrac{\dfrac{1}{a_3}+\dfrac{1}{b_3}}{2}+...+ \dfrac{\dfrac{1}{a_n}+\dfrac{1}{b_n}}{2}$
ซึ่งพบว่าเป็นจริงชัดเจนโดย AM-HM
|
ข้อ 1 กับ 2 มีวิธีที่ไม่ต้องใช้ jensen หรือเปล่าครับ
ข้อ 3 บัคครับ เครื่องหมายในวิธีทำผิด(กลับข้าง)
