[nooonuii]

$\clubsuit$ Normalization กับ Homogenization เป็นกระบวนการที่ตรงข้ามกันครับ

ทั้งสองอย่างนี้เกี่ยวข้องกับ Homogeneous Function

ขออธิบายเฉพาะสามตัวแปรนะครับ

ให้ $F(a,b,c)$ เป็นฟังก์ชันของสามตัวแปร $a,b,c$ เช่น $F(a,b,c)=a+b+c$

เรากล่าวว่า $F$ เป็น homogeneous function of degree n ถ้า

$$F(\lambda a,\lambda b,\lambda c)=\lambda^nF(a,b,c)$$

ทุก $\lambda$ ที่อยู่ในเซตที่เราสนใจ เช่น จำนวนจริงบวก หรือ จำนวนจริง

ตัวอย่าง $F(a,b,c)=a+b+c$ เป็น homogeneous function degree 1

$F(a,b,c)=a^2+b^2+c^2$ เป็น homogeneous function degree 2

แต่ $F(a,b,c)=a+b+c+1$ ไม่เป็น homogeneous function

ทำไมต้อง homogeneous function ?

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

สมมติ $F(a,b,c)=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$

จะเห็นว่า $F$ เป็น homogeneous function degree 0

สมมติเราสร้างตัวแปรใหม่เป็น

$x=\dfrac{a}{a+b+c}$

$y=\dfrac{b}{a+b+c}$

$z=\dfrac{c}{a+b+c}$

เราจะได้ $x+y+z=1$ และ

$F(x,y,z)=F(a,b,c)$ (why?)

ดังนั้น ค่าสูงสุดและต่ำสุดของ $F(a,b,c)$ กับ $F(x,y,z)$ จะมีค่าเท่ากัน

แต่การหาจาก $F(x,y,z)$ น่าจะดีกว่าเ้พราะเรามีเงื่อนไข $x+y+z=1$ แถมมาด้วย

กระบวนการเปลี่ยนตัวแปรจาก $a,b,c$ เป็น $x,y,z$ นี้เราเรียกว่า normalization ครับ

นี่คือที่มาว่าทำไมเราถึงสามารถสมมติว่า $a+b+c=1$ ในการพิสูจน์อสมการ

$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq\dfrac{3}{2}$$

ซึ่งจริงๆแล้ว $a,b,c$ ที่สอดคล้องเงื่อนไข $a+b+c=1$ ก็คือตัวแปร $x,y,z$ ที่นิยามตามแบบข้างบนนี่เอง

เราสามารถ normalize ฟังก์ชันได้เยอะแยะมากมายครับ เช่น ให้

$x=\dfrac{3a}{a+b+c}$

$y=\dfrac{3b}{a+b+c}$

$z=\dfrac{3c}{a+b+c}$

เราก็ยังได้ $F(a,b,c)=F(x,y,z)$ เหมือนเดิม แต่คราวนี้ได้เงื่อนไข

$x+y+z=3$ มาแทน

$\spadesuit$ กระบวนการ Homogenization ก็คือการทำอสมการที่มีเงื่อนไข

ให้กลับไปเป็นอสมการของ homogeneous function ที่ไม่มีเงื่อนไขนั่นเอง

เช่น เรามีอสมการ $a+b+c\geq 3$ เมื่อ $abc=1$

เราอาจจะ homogenize ให้เป็น

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

ซึ่งก็คืออสมการ $AM-GM$ นั่นเอง

โดยทั่วไป homogenization ทำยากกว่า normalization ครับ

เำพราะเราไม่รู้ว่าจะคืนตัวแปรไปอยู่ส่วนไหนดี แต่หลักๆก็คือ

หลังจาก homogenize แล้ว ฟังก์ชันจะต้อง homogeneous ครับ