[tonklaZolo]

Algebra
1. กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $r$ เป็นจำนวนจริง จงหาคู่อันดับ $(n,r)$ ทั้งหมดที่ทำให้พหุนาม $(x-1)^n-r$ หารด้วย พหุนาม $2x^2-2x+1$ ลงตัว
2. จงแสดงว่าไม่มีเซตจำกัด $M \subset \mathbb{R} -\left\{\,0\right\} $ ที่ทำให้สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$ พหุนามดีกรีมากกว่า $n$ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นสมาชิกของ $M$ มีรากทุกตัวเป็นสมาชิกของ $M$
-----------------------------------------------------------------------------------------
Number Theory
1. จงหาจำนวนเต็มบวก $a$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งสอดคล้องกับ $1971\mid 50^n+a\cdot 23^n$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคี่
2. จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้เลขสามหลักท้ายของ $3^n$ คือ $003$
-----------------------------------------------------------------------------------------
Inequality
1. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $abc=1$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{a}{\sqrt[3]{a+\frac{1}{c}+\frac{1}{3}}}+\frac{b}{\sqrt[3]{b+\frac{1}{a}+\frac{1}{3}}}+\frac{c}{\sqrt[3]{c+\frac{1}{b}+\frac{1}{3}}}>\sqrt[3]{3}$$
2. กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $3xyz(x+y+z)=1$ จงหาค่ามากที่สุดของ $x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}$ พร้อมระบุค่าของ $x,y,z$ ที่ทำให้เกิดค่ามากที่สุด
-----------------------------------------------------------------------------------------
Combinatoric
1. พิจารณาจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกัน $7$ จำนวน และมีค่าไม่เกิน $1706$ จงพิสูจน์ว่า มี $a,b,c$ ใน $7$ จำนวนนี้ที่สอดคล้องกับ $a<b+c<4a$
2. ในเดือนมีนาคม 2556 ที่ผ่านมา บริษัทแห่งหนึ่งขายเครื่องคอมพิวเตอร์ได้ $100$ เครื่อง เป็นเครื่องที่มีจอสี $50$ เครื่อง เป็นเครื่องที่มีฮาร์ดดิสก์ $50$ เครื่อง และขายเครื่องพร้อมเครื่องพิมพ์ $30$ เครื่อง ในจำนวนนี้มีอยู่ $5$ ชุดที่มีทั้งจอสี ฮาร์ดดิสก์และเครื่องพิมพ์ อยากทราบว่า บริษัทนี้ขายเครื่องไปอย่างน้อยกี่เครื่องที่ไม่ใช้จอสี ไม่ฮาร์ดดิสก์และไม่มีเครื่องพิมพ์
-----------------------------------------------------------------------------------------
Functional Equation
1. จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $f(xy)+f(x-y)+f(x+y+1)=xy+2x+1$ สำหรับทุกๆ $x,y \in \mathbb{R}$
2. จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x+y)$ สำหรับทุกๆ $x,y \in \mathbb{R}$
-----------------------------------------------
Geometry
1. ให้ $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ลากเส้นตรงผ่านจุด $A$ มาตัดกับส่วนต่อขยายด้าน $CB$ และ ส่วนต่อขยายด้าน $CD$ ที่จุด $E$ และ $F$ ตามลำดับ
จงแสดงว่า $CB\cdot CE+CD\cdot CF=AC^2+AE\cdot AF$
2. ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีวงกลมตัดกับด้าน $BC$ ที่จุด $A_1,A_2$ ตัดด้าน $CA$ ที่จุด $B_1,B_2$ ตัดด้าน $AB$ ที่จุด $C_1,C_2$ ถ้า $B_1C_1$ และ $B_2,C_2$ ตัดกันที่จุด $X$,
ถ้า $C_1A_1$ และ $C_2,A_2$ ตัดกันที่จุด $Y$และ $A_1B_1$ และ $A_2,B_2$ ตัดกันที่จุด $Z$ จงแสดงว่า $AX,BY,CZ$ ตัดกันที่จุดเดียวกัน