ดูหนึ่งข้อความ
  #1  
Old 17 เมษายน 2008, 08:58
คusักคณิm's Avatar
คusักคณิm คusักคณิm ไม่อยู่ในระบบ
เทพยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 มีนาคม 2008
ข้อความ: 4,888
คusักคณิm is on a distinguished road
Talking ข้อสอบฉบับรวมคณิตศาสตร์นานาชาติชุดที่ 1

ข้อสอบฉบับรวมคณิตศาสตร์นานาชาติ

พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่ควรจะรู้
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic Mean)

ให้ เป็นจำนวนจริงใดๆ จำนวน ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ของจำนวนเหล่านี้จะคำนวณจาก




ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (Geometric Mean)
,
ให้ เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่เป็นลบ จำนวน ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ของจำนวนเหล่านี้จะคำนวณจาก




อสมการ AM/GM

ให้ เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่เป็นลบ จำนวน เราจะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง และ ดังนี้


หรือ





และทั้งสองข้างจะเท่ากันเมื่อ เวลาใช้งานจริงๆอสมการ อาจเขียนได้หลายแบบ เช่น











โจทย์ข้อที่ 1 (คณิตศาสตร์โอลิมปิกเอเซียแฟซิฟิกปี 1989) ให้ เป็นจำนวนจริงบวก ให้ โดยที่ จงแสดงว่า







เฉลยโจทย์ข้อที่ 1
โดยใช้อสมการ จะได้



เมื่อยกกำลัง ทั้งสองข้างและจัดรูปใหม่จะได้



เทอมทางขวามือของอสมการ กระจายได้เป็น





เนื่องจากค่าที่อยู่ภายในวงเล็บปีกกาจะน้อยกว่า ดังนั้นเราจะได้อสมการ








จากอสมการ และ จะได้




โจทย์ข้อที่ 2 (คณิตศาสตร์ออสเตรียโปแลนด์ปี 1983) ให้จำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ สอดคล้องกับอสมการ และ จงแสดงว่า




เฉลยโจทย์ข้อที่ 2
โดยอาศัย เราจะได้






นั่นคือ ทำนองเดียวกันจะได้ เมื่อบวกทั้งสองอสมการนี้เข้าด้วยกันจะได้ หรือ



จากที่โจทย์กำหนดให้ และ ทำให้ได้



จากอสมการ และ จะได้ หรือ





โจทย์ข้อที่ 3 (คณิตศาสตร์โอลิมปิกบราซิลปี 2001) จงพิสูจน์ว่า สำหรับทุกจำนวนจริงบวก




เฉลยโจทย์ข้อที่ 3
เนื่องจาก ดังนั้นเพื่อความสะดวกเราจะให้ และ เราจะได้


บวก ทั้งสองข้าง






เมื่อแทนค่า และ จะได้





โจทย์ข้อที่ 4 (คณิตศาสตร์โอลิมปิกคานาดาปี 1971) กำหนดให้ และ เป็นจำนวนจริงบวกและ จงแสดงว่า




เฉลยโจทย์ข้อที่ 4
จาก เมื่อหารทั้งสองด้วย แล้วบวกด้วย จะได้ หรือเมื่อสลับข้าง



ทำนองเดียวกันในกรณีของ เราจะได้



คูณสมการทั้งสองเข้าด้วยกันจะได้



เนื่องจาก จะได้ ดังนั้น



อาศัยผลจากอสมการ และ จะได้





โจทย์ข้อที่ 5 (คณิตศาสตร์โอลิมปิกอังกฤษปี 1965) จงหาเศษจากการหาร ด้วย

(1)

(2)




เฉลยโจทย์ข้อที่ 5
โจทย์ข้อเป็นเรื่องเกี่ยวกับการหารพหุนาม ดังนั้นเพื่อความสะดวกเราจะให้
เป็นพหุนามตัวตั้ง
เป็นพหุนามตัวหาร
เป็นพหุนามผลหาร
เป็นเศษของการหาร


เราจะได้ความสัมพันธ์ของพหุนามทั้งสี่เป็น




โดยที่ดีกรีของ จะน้อยกว่าดีกรีของ เสมอ ถ้า เรากล่าวว่า หาร ลงตัว จากโจทย์ข้อนี้เรามี และมี ดังนี้
กรณีที่ 1
เนื่องจากดีกรีของ เป็นหนึ่งแสดงว่าดีกรีของ ต้องเป็นศูนย์นั่นคือ เป็นค่าคงที่ เราสมมติให้ เมื่อใส่ และ ลงในสมการ เราจะได้



เนื่องจากเราต้องการหาเศษจากการหาร ไม่ใช่การหาผลหาร ดังนั้นเราแทน ลงในสมการที่ จะทำให้เทอมแรกทางขวามือเป็นศูนย์ และจะได้ ดังนั้นเศษของการหารในกรณีนี้เป็น
กรณีที่ 2
เนื่องจากดีกรีของ เป็นสองแสดงว่าดีกรีสูงสุดของ เป็นหนึ่ง นั่นคือน้อยกว่าของ ดังนั้นเราจะให้ และเมื่อแทน และ ลงในสมการที่ จะได้



ถ้าเราแทน ลงในสมการที่ เราจะได้



แต่ถ้าเราแทน ลงในสมการที่ เราจะได้



หลังจากแก้สมการ กับ จะได้ และ ทำให้ได้ เป็นเศษของการหาร ด้วย
สรุปแล้วเมื่อหาร ด้วย จะได้เศษเป็น และเมื่อหารด้วย จะได้เศษเป็น





โจทย์ข้อที่ 6 (คณิตศาสตร์โอลิมปิก(IMO)ปี 1960) จงหาค่าของ ที่สอดคล้องกับอสมการ







เฉลยโจทย์ข้อที่ 6
สิ่งแรกที่ควรจะทำเมื่อแก้โจทย์ในลักษณะนี้คือการกำหนดเงื่อนไขที่ จะต้องสอดคล้องดังนี้


เงื่อนไขที่ 1 ในเทอมทางซ้ายมือตัวหารต้องไม่เป็นศูนย์ นั่นคือ ซึ่งจะได้ว่า


เงื่อนไขที่ 2 ในทางซ้ายมือ เทอมที่อยู่ภายในเครื่องหมายรากที่สองจะต้องไม่เป็นลบ นั่นคือ ซึ่งเราจะได้


เงื่อนไขที่ 3 เนื่องจากเทอมทางซ้ายมือไม่มีโอกาศเป็นลบ ดังนั้นเทอมทางขวามือต้องไม่เป็นลบด้วย นั่นคือ หรือ
นำเงื่อนไขทั้งสามมาหาอินเซกชันเพื่อที่จะได้เงื่อนไขสุทธิที่ จะต้องสอดคล้อง ซึ่งเราจะได้


หรือ

ขั้นตอนต่อไปเป็นการแก้อสมการตามปกติ เพื่อความสะดวกเราจะให้ แทนลงในโจทย์จะได้


จาก
เพราะว่า






ค่า ที่ได้จากการแก้อสมการใน จะต้องนำไปหาอินเตอร์เซกชันกับเงื่อนไขใน เพื่อหาคำตอบสุดท้าย ซึ่งจะได้คำตอบคือ หรือ





โจทย์ข้อที่ 7 (คณิตศาสตร์โอลิมปิก(IMO)ปี 1961) ให้ เป็นขนาดของด้านของสามเหลี่ยม และให้ เป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าว จงพิสูจน์ว่า และเมื่อไหร่ทั้งสองข้างจะเท่ากัน




เฉลยโจทย์ข้อที่ 7
ให้ และ เป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยม เราจะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง กับ เป็น



ยกกำลังสองทั้งสองข้างและจัดรูปสมการใหม่จะได้



อาศัยอสมการ สำหรับเทอมทางขวามือของสมการ เราจะได้



แทนค่าจากสมการ จะได้ หรือ



เนื่องจาก จะได้ และทำนองเดียวกันจะได้ และ เมื่อรวมสามอสมการเข้าด้วยกันจะได้



จาก เมื่อยกกำลังสองจะได้


ผลจากสมการ





จากอสมการ และ จะได้ หรือ และทั้งสองข้างจะเท่ากันเมื่อ นั่นคือสามเหลี่ยมดังกล่าวเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า






โจทย์ข้อที่ 8 (คณิตศาสตร์โอลิมปิก(IMO)ปี 1962) จงหาค่าของ จากสมการ




เฉลยโจทย์ข้อที่ 8
โดยใช้สูตร ในเทอมแรกและเทอมที่สามทางซ้ายมือของสมการ เราจะได้



จาก
แทน





จากสมการสุดท้ายเราจะได้สิ่งที่เป็นไปได้ 3 กรณีดังนี้


กรณีที่ 1 ซึ่งจะได้ หรือ แต่เนื่องจาก เป็นฟังก์ชันที่เป็นคาบและมีคาบเป็น เราจะต้องบวกคำตอบที่ได้ด้วย โดยที่ เป็นจำนวนเต็มไดๆ ซึ่งก็จะได้ หรือ ยิ่งไปกว่านั้นเราพบว่า เราสามารถที่จะรวมคำตอบให้เหลือเพียง ซึ่งสามารถเขียนใหม่เป็น


กรณีที่ 2 จะได้ ซึ่งเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปได้เป็น หรือ


กรณีที่ 3 ซึ่งจะได้คำตอบในรูปทั่วไปเป็น หรือ จัดรูปใหม่จะได้ หรือ
ในที่สุดเราจะได้คำตอบทั้งหมดเป็นยูเนียนของทั้งสามกรณีซึ่งจะได้ โดยที่ เป็นจำนวนเต็มไดๆ






โจทย์ข้อที่ 9 (คณิตศาสตร์โอลิมปิก(IMO)ปี 1963) จงหาค่าของ ที่ทำให้สมการ มีคำตอบเป็นจำนวนจริง และจงหาคำตอบของสมการนี้




เฉลยโจทย์ข้อที่ 9
โจทย์ข้อนี้ดูเหมือนง่าย แต่จริงๆแล้วค่อนข้างซับซ้อนทีเดียว โจทย์ลักษณะนี้สามารถแก้ได้สองแบบคือแบบแรกเราแก้สมการได้เลยแล้วนำผลที่ได้ไปตรวจคำตอบกับสมการที่โจทย์ให้มา แบบที่สองเรากำหนดเงื่อนไขที่เป็นไปได้ของคำตอบก่อนจากนั้นเราก็แก้สมการตามปกติ นำผลที่ได้จากการแก้สมการมาหาอินเตอร์เซกชันกับเงื่อนไขที่เรากำหนดไว้จะได้คำตอบสุดท้ายโดยไม่จำเป็นต้องตรวจคำตอบอีก เนื่องจากวิธีที่สองมีความเป็นทั่วไปมากกว่าวิธีแรก ดังนั้นเราจะแก้โจทย์ในลักษณะนี้ตามแบบที่สองเท่านั้น ก่อนอื่นเราจะพิจารณาเงื่อนไขของ และ ที่จะทำให้ได้คำตอบตามที่โจทย์ต้องการดังนี้ เนื่องจากค่าทางซ้ายมือจะต้องไม่เป็นลบ ดังนั้นค่าทางขวามือจะต้องไม่เป็นลบด้วย จะได้



เงื่อนไขต่อไปคือเทอมที่อยู่ในเครื่องหมาย จะต้องไม่เป็นลบเช่นกัน ดังนั้น ซึ่งจะได้

หรือ

การหาเงื่อนไขต่อไปจำเป็นต้องจัดรูปสมการใหม่ซึ่งทำได้สองแบบดังนี้
แบบที่หนึ่ง
จัดสมการให้อยู่ในรูป จะได้ว่าเทอมทางขวามือจะต้องไม่เป็นลบ ดังนั้น



ย้ายข้างแล้วยกกำลังสองจะได้ จัดให้อยู่ในรูป จะได้เงื่อนไขสำหรับ เป็น



แบบที่สอง
จัดสมการให้อยู่ในรูป เนื่องจากเทอมทางขวามือจะต้องไม่เป็นลบ ดังนั้น



เมื่อแก้อสมการแล้วจะได้เงื่อนไขสำหรับ เป็น



ขั้นตอนสุดท้ายของการกำหนดเงื่อนไขของ คือการนำเงื่อนไขย่อยๆจากสมการ มาหาอินเตอร์เซกชัน ซึ่งจะได้



เงื่อนไขในสมการ และ เป็นเงื่อนไขสำหรับ และ ตามลำดับที่ได้จากโจทย์ เมื่อแก้สมการได้ และ แล้วจะต้องนำมาหาอินเตอร์เซกชันหรือพิจารณาร่วมกับสมการ และ ตามลำดับเสมอ หลังจากกำหนดเงื่อนไขของ และ แล้วเราแก้สมการตามปกติดังนี้



ซึ่งจะทำให้ได้ แต่จากสมการ ค่าของ เป็นลบไม่ได้ ดังนั้นจะได้คำตอบสุดท้ายเป็น



ต่อไปเราจะหา ดังนี้ จากสมการ จะพบว่าจะหาค่าของ ได้เมื่อ นั่นคือ



เนื่องจาก มีค่าอยู่ในช่วงตามสมการ ดังนั้นใส่ค่า จากสมการ ลงในสมการ แล้วยกกำลังสองจะได้



ซึ่งสามารถแยกคิดเป็นสองกรณีดังนี้
กรณีที่หนึ่ง
จะได้ ซึ่งมีคำตอบคือ เป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด
กรณีที่สอง
ซึ่งจะได้ จะได้คำตอบเป็น
จะได้คำตอบของอสมการ เป็นอินเตอร์เซกชันของคำตอบจากทั้งสองกรณี ซึ่งก็คือ



ดังนั้นเราจะได้ค่าของ ที่ได้จากการแก้สมการ เป็นอินเตอร์เซกชันของสมการ และ ซึ่งเท่ากับ



ซึ่งก็คือสมการ นั่นเอง เพราะว่าเซตในสมการ เป็นสับเซตของเซตในสมการ ในที่สุดคำตอบสุดท้ายสำหรับ จะได้จากอินเตอร์เซกชันของสมการ กับ ซึ่งเท่ากับ



สรุปแล้วตามที่โจทย์ต้องการ ค่าของ ในสมการ จะทำให้สมการ มีคำตอบเป็นจำนวนจริง และคำตอบนี้หาได้จากสมการ





โจทย์ข้อที่ 10 (คณิตศาสตร์โอลิมปิก(IMO)ปี 1963) จงพิสูจน์ว่า




เฉลยโจทย์ข้อที่ 10
เนื่องจาก ดังนั้นเราแทน ด้วย เราจะได้



จะสังเกตว่า เพิ่มขึ้นทีละ ดังนั้นคูณทั้งเศษและส่วนด้วย จะได้











ได้บรรทัดสุดท้ายโดยใช้สูตร





โจทย์ข้อที่ 11 (คณิตศาสตร์โอลิมปิกไอร์แลนด์ปี 1990) จงแสดงว่า




เฉลยโจทย์ข้อที่ 11
สำหรับจำนวนเต็มบวก ใดๆ จะพบว่า ดังนั้น

ทำให้ได้





เทอมทางขวามือของอสมการ สามารถคำนวณได้ดังนี้











แทนค่าลงในอสมการ เราจะได้
ในกรณีที่ เราจะได้ ซึ่งทำให้ได้






โจทย์ข้อที่ 12 (คณิตศาสตร์โอลิมปิกไอร์แลนด์ปี 1993) จำนวนจริง และ สอดคล้องกับระบบสมการ








จงหาค่าของ



เฉลยโจทย์ข้อที่ 12
สมการกำลังสามในรูป สามารถแปลงให้อยู่ในรูป ซึ่งสามารถหาคำตอบได้ง่ายกว่า โดยให้ ในโจทย์ข้อนี้ ทำให้ได้ ดังนั้นเราแทน และ ลงในสมการข้างบนเราจะได้







บวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกันแล้วใช้สูตรผลบวกกำลังเพื่อแยก จะได้



เนื่องจาก แสดงว่า ดังนั้นเราจะได้




โจทย์ข้อที่ 13 (คณิตศาสตร์โอลิมปิกไอร์แลนด์ปี 1996) จงแสดงว่า




เฉลยโจทย์ข้อที่ 13
เนื่องจาก ดังนั้นเราจะให้



ซึ่งสามารถคำนวนได้ดังนี้ คูณสมการ ตลอดด้วย จะได้



สมการ ลบด้วยสมการ จะได้



หลังจากคูณตลอดด้วย เราจะได้ เนื่องจากค่าในวงเล็บมากกว่าศูนย์เสมอ ดังนั้น ทำให้ได้ หรือ





โจทย์ข้อที่ 14 (คณิตศาสตร์โอลิมปิกไอร์แลนด์ปี 2000) กำหนดให้ และ เป็นจำนวนจริงที่ และ ถ้า แล้วจงพิสูจน์ว่า




เฉลยโจทย์ข้อที่ 14
จากที่โจทย์ให้มาจะได้ และเนื่องจาก ดังนั้น จะได้ ต่อไปเราพิจารณา



โดยที่เราเขียน แทน เพื่อความสะดวก ถ้าเราให้ฟังก์ชัน เป็น


จะพบว่า สำหรับทุก และ ที่ นี้แสดงว่า มีการเพิ่มขึ้นจากศูนย์ที่ จนกระทั้งถึงจุดสูงสุดสัมพัทธ์แล้วก็ลดลงจนกระทั่งเป็นศูนย์อีกครั้งที่ เราสามารถหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์นี้จากการให้ โดยที่ เป็นอนุพันธ์ของ ซึ่งจะได้



เมื่อ จะได้ เนื่องจาก มีค่าต่ำสุดแล้วที่ แสดงว่า มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ แทนค่า ลงในสมการ จะได้ นั่นหมายความว่า เมื่อ ดังนั้นจากสมการ เราจะได้






โจทย์ข้อที่ 15 (คณิตศาสตร์โอลิมปิกสวีเดนปี 1971) จงแสดงว่า สำหรับทุกจำนวนจริง โดยที่




เฉลยโจทย์ข้อที่ 15
เนื่องจาก และ เมื่อคูณกันเราจะได้









อสมการสุดท้ายเมื่อคูณด้วย 2 สามารถจัดให้อยู่ในรูป






พิจารณาการกระจายของเทอม ดังนี้








นั่นคือ






โจทย์ข้อที่ 16 (คณิตศาสตร์โอลิมปิกสวีเดนปี 1972) จงแสดงว่า


สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก







เฉลยโจทย์ข้อที่ 16
เมื่อ จะได้ ทำให้ได้ เมื่อคูณด้วย ทั้งสองข้างจะได้








ในอสมการสุดท้ายถ้าเราคูณด้วย เราจะได้ ดังนั้น






แต่สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก เราพบว่า ดังนั้นเราจะได้







โจทย์ข้อที่ 17 (คณิตศาสตร์โอลิมปิกสวีเดนปี 1974) จงแสดงว่า สำหรับจำนวนเต็มบวก และจำนวนจริงบวก




เฉลยโจทย์ข้อที่ 17
โจทย์ข้อนี้สามารถแก้ได้โดยอาศัย ดังนี้ ถ้าให้ เราจะได้อสมการ








แต่ถ้าให้ และ เราจะได้อสมการ









จากอสมการ และอสมการ เราจะได้






โจทย์ข้อที่ 18 (คณิตศาสตร์โอลิมปิกเวียดนามปี 1962) กำหนดให้ จงหา




เฉลยโจทย์ข้อที่ 18
จะสังเกตว่าเมื่อ จะได้ ดังนั้นเราจะให้ และ แล้วใช้กฎลูกโซ่สำหรับอนุพันธ์ที่ว่า



หลังจากแทนค่า กับ แล้วเราจะได้



เราไม่จำเป็นต้องคำนวณหาอนุพันธ์ในเทอมแรก เพราะเรารู้ว่าผลสุดท้ายจะต้องเป็นศูนย์ ดังนั้นเราจะได้






โจทย์ข้อที่ 19 (คณิตศาสตร์โอลิมปิกเวียดนามปี 1962) จงหาค่าของ ที่สอดคล้องกับสมการ




เฉลยโจทย์ข้อที่ 19
ให้ และ จะได้ และเมื่อแทน กับ ลงในสมการข้างบนจะได้ เนื่องจาก ดังนั้นเราจะได้









เมื่อแทนค่า กับ เราจะได้ นั่นคือ ซึ่งมีคำตอบเป็น ซึ่งสามารถเขียนให้กระชับขึ้นเป็น หรือเขียนใหม่ได้เป็น โดยที่ เป็นจำนวนเต็มใดๆ






โจทย์ข้อที่ 20 (คณิตศาสตร์โอลิมปิกเวียดนามปี 1963) จงแก้สมการ




เฉลยโจทย์ข้อที่ 20
แทนค่า และ ลงในสมการข้างบนเราจะได้









ซึ่งจะได้คำตอบเป็น หรือ โดยที่ เรเดียน หรือประมาณ 14.477 องศา คำตอบนี้สามารถเขียนได้ใหม่เป็น






โดยที่ เป็นจำนวนเต็มใดๆ






จบข้อสอบคณิตศาสตร์นานาชาติชุดที่ 1
__________________

16 ธันวาคม 2008 20:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ คusักคณิm
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้