อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver
APMO 2002
กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่มีสมบัติว่า $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$$ จงพิสูจน์ว่า $$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\geqslant \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$$
|
$xyz=xy+yz+zx$
After squaring on both sides and eliminating similar terms, we get the inequality
$\sqrt{(x+yz)(y+zx)}+\sqrt{(y+zx)(z+xy)}+\sqrt{(z+xy)(x+yz)}\geq \sqrt{xyz}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})$
Now apply Cauchy-Schwarz inequality 3 times.
$\sqrt{xy}+\sqrt{xyz^2}\leq ......?$
$\sqrt{yz}+\sqrt{x^2yz}\leq ......?$
$\sqrt{zx}+\sqrt{xy^2z}\leq ......?$