21. จงหาค่า $x,y,z \in \mathbb{I}$ ทั้งหมดที่ทำให้
$x^3-4x^2-16x+60=y$
$y^3-4y^2-16y+60=z$
$z^3-4z^2-16z+60=x$
22. กำหนดให้ $\displaystyle{a_n = \left\lfloor\frac{n^2+11n+270}{n+12}\right\rfloor }$ จงหา $a_{100}+a_{101}+...+a_{400}$
$\displaystyle{a_n = \left\lfloor n-1+\frac{282}{n+12}\right\rfloor }$
$\displaystyle{a_n = \cases{n-1+\left\lfloor\frac{282}{n+12}\right\rfloor & , 0 < n \leq 270 \cr n-1 & , n > 270} }$
พิจารณา ค่าใน floor function เฉพาะค่า 100 ถึง 400 จะได้
$\displaystyle{\left\lfloor\frac{282}{n+12}\right\rfloor = \cases{2 & , 100\leq n\leq 129 \cr 1 & , 129< n \leq 270 \cr 0 & , 270 < n \leq 400} }$
$\displaystyle{a_{100}+a_{101}+...+a_{400} = \sum_{n=100}^{400} n - 400+2(129-100+1)+1(270-130+1)}$
$\displaystyle{a_{100}+a_{101}+...+a_{400} = \frac{400(400+1)}{2}-400+60+141} = 80001$
23. จงแก้สมการ $(\sin{x}+\sin{(2x)}+\sin{(3x)})^2+(\cos{x}+\cos{(2x)}+\cos{(3x)})^2 = 1$
24. กำหนดให้ $\displaystyle{A=\frac{1}{\sqrt[3]{1000}}+\frac{1}{\sqrt[3]{1001}}++\frac{1}{\sqrt[3]{1002}}+...+\frac{1}{\sqrt[3]{1000000}}}$ จงหาค่าของ $\left\lfloor\frac{A}{4}\right\rfloor $
$\displaystyle{\int_{10^3}^{10^6+1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx \leq \sum_{x=10^3}^{10^6}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\leq \frac{1}{\sqrt[3]{1000}}+\int_{10^3}^{10^6}\frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx}$
$\displaystyle{14850.01 \leq A \leq 14850.1}$
$\displaystyle{3712.5025 \leq \frac{A}{4} \leq 3712.525}$
$\displaystyle{\left\lfloor\frac{A}{4}\right\rfloor = 3712}$
25. กำหนดให้ $\theta$ เป็นค่าคงที่ในช่วง $(0,\pi)$ ที่ทำให้ $\displaystyle{x+\frac{1}{x}=2\cos{\theta}}$ จงหาค่าของ $\displaystyle{x^n+\frac{1}{x^n}}$ ในรูปของ $n$ และ $\theta$ เมื่อ $n \in \mathbb{I}^+$
พิสูจน์ไม่ยากว่า $x = e^{\pm j\theta}$ เมื่อ $j = \sqrt{-1}$
ดังนั้น $x^n + \frac{1}{x^n} = e^{\pm j\theta}+e^{\mp j\theta} = 2\cos{(n\theta)}$