คืออย่างนี้ครับ ที่คุณ share บอกว่า คนที่ 1 วิเคราะห์โจทย์ได้แค่ ระดับ ม.ต้น แล้วให้คะแนนเขาเพียง 5 คะแนนเท่านั้น
ทำไมจึงวิเคราะห์เช่นนั้น ช่วยขยายความและยกตัวอย่างให้ชัดเจนหน่อยครับ
ในมุมมองของผมนะครับ
หากมองคำตอบของทั้ง 6 คนให้ดีจะพบว่า ความแตกต่างเกิดจากการแยกตัวประกอบของเทอม $x - 1$ เท่านั้น
หากเราเปลี่ยนโจทย์เล็กน้อยเป็น จงแยกตัวประกอบของ $x - 1$ ก็จะได้คำตอบของทั้ง 6 คนดังนี้
คนที่ 1: $x - 1 = x - 1$
คนที่ 2: $x - 1 = (x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{2}} - 1)$
คนที่ 3: $x - 1 = (x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} - 1)$
คนที่ 4: $x - 1 = (x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{8}} + 1)(x^{\frac{1}{8}} - 1)$
คนที่ 5: $x - 1 = (x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{8}} + 1)(x^{\frac{1}{16}} + 1)(x^{\frac{1}{16}} - 1)$
คนที่ 6: $x - 1 = (x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{8}} + 1)(x^{\frac{1}{16}} + 1)(x^{\frac{1}{32}} + 1)(x^{\frac{1}{64}} + 1) \cdots$
คำถาม: เรายังต้องแยกตัวประกอบเทอม $x - 1$ ต่อไปอีกรึเปล่า ?
การที่คำตอบของคนที่ 1 ไม่แยกตัวประกอบต่อ แล้วคุณ share สรุปว่า เขาวิเคราะห์โจทย์ได้แค่ ระดับ ม.ต้น จึงให้คะแนนไปเพียง 5 คะแนน ทำให้ผมเกิดความสงสัยว่า
ทำไมจึงวิเคราะห์เช่นนั้น มันเกี่ยวข้องกับสิ่งที่คุณ share อ้างอิงเสมอว่า
"ระดับ ม.ต้น เรียนจำนวนตรรกยะ, ระดับ ม.ปลาย เรียนจำนวนจริง" อย่างไร อยากให้อธิบายเพิ่มเติม
ผมไม่แน่ใจว่า
คุณ share ต้องการประเมินอะไรจากปัญหาข้อนี้ จึงอยากถามให้ชัดเจน
อยากให้นักเรียนแยกตัวประกอบเพื่อแก้สมการหาคำตอบแบบที่พวกเราเข้าใจกันรึเปล่า
หากเป็นการแยกตัวประกอบเพื่อแก้สมการ ผมคิดว่าคำตอบของคนที่ 1 ครบถ้วนแล้ว เพราะ
- สมการพหุนามกำลังสอง มีคำตอบไม่เกิน 2 คำตอบ
- คำตอบทั้งสองของสมการ $x^2 - 1 = 0$ คือ -1, 1 ซึ่งการแยกตัวประกอบของคนที่ 1 ให้คำตอบครบถ้วนแล้ว
หากต้องการยกตัวอย่างเรื่องการแก้สมการพหุนาม ผมจะยกตัวอย่างอีกแบบหนึ่งคือ
จงหา $x$ ทั้งหมด ที่ทำให้สมการ $x^3 - 1 = 0$ เป็นจริง
นาย A ทำ
\(\begin{array}{rcl}
x^3 - 1 & = & 0\\
x^3 & = & 1\\
x & = & 1
\end{array}\)
นาย B ทำ
\(\begin{array}{rcl}
x^3 - 1 & = & 0\\
(x - 1)(x^2 + x + 1) & = & 0\\
(x - 1)\left(x - \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2}\right)\left(x - \frac{-1 - \sqrt{3} i}{2}\right) & = & 0\\
x & = & 1, \frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}
\end{array}\)
จากวิธีทำของ นาย A และนาย B แสดงให้เห็นว่า
นาย A ไม่ได้ใช้ความรู้เรื่องการแยกตัวประกอบมาแก้สมการเลย ใช้วิธีง่ายๆแต่ให้คำตอบไม่ครบถ้วน
นาย B ใช้ความรู้เรื่องการแยกตัวประกอบมาแก้สมการ และได้คำตอบครบถ้วน