โดยทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน
$100=2^2\cdot 5^2$ จะได้ $3^{2016}\equiv x(mod100)$ โดย $3^{2016}\equiv x(mod4)$ และ $3^{2016}\equiv x(mod25)$
พิจารณา $3^{2016}\equiv x(mod25)$ เนื่องจาก $3^5\equiv 43(mod25)$ จะได้ $(3^5)^2\equiv 3^{10}\equiv (43)^2 (mod25)\equiv (-1)(mod25)$
ดังนั้น $3^{2016}\equiv (3^{10})^{201} \cdot 3^6 (mod25)\equiv (-1)^{201}\cdot 729 (mod25)\equiv -29(mod25)\equiv 21(mod25)$
พิจารณา $3^{2016}\equiv x(mod4)$ เนื่องจาก $3^3\equiv (-1)(mod4)$ จะได้ $(3^3)^{672}\equiv (-1)^{672}\equiv 1(mod4)$
ดังนั้น $3^{2016}\equiv 1(mod4)\equiv 21(mod4)$
ดังนั้นจะได้ x=21 นั่นคือ $3^{2016}\equiv 21(mod100)$
ดังนั้น $3^{2016}$ หารด้วย 100 เหลือเศษ 21 นั่นคือหลักสิบเท่ากับ 2
|