อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ C9H20N
30. ถ้า $a$ เป็นคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดของสมการ $2^{2x}+2^{3x}+2^{4x}=2^{-4} $ และ $b^\frac{1}{c}$
เป็นคำตอบที่มากที่สุดของสมการ $log_{1024}x+log_{1024}x^2+...+log_{1024}x^{2020}=2021$
เมื่อ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มบวก $a+b+c$ มีค่าเท่าไร$
|
ข้อนี้น่าจะโจทย์ผิดนะครับ เพราะสมการแรกไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม สังเกตได้ง่ายๆจากฟังก์ชัน $f(x)=2^{2x}+2^{3x}+2^{4x}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และเป็นฟังก์ชันเพิ่มโดยแท้ มีเรนจ์เป็น $(0,\infty)$ ดูได้จากลิมิตเมื่อ $x \to \infty$ และ $x \to -\infty$ แสดงว่าฟังก์ชันนี้เป็นทั้ง 1-1 และ onto จึงได้ว่าฟังก์ชันนี้จะให้ค่าออกมาเป็น $\frac{1}{2^4}$ เพียงแค่จุดเดียว แปลว่าสมการมีคำตอบเดียว
เนื่อจากโจทย์ต้องการให้คำตอบเป็นจำนวนเต็ม เราก็ลองทดตรงๆเลยได้ครับ
$f(-2)=\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^8}>\frac{1}{2^4}$
$f(-3)=\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{2^{12}}<\frac{1}{2^4}$
แสดงว่าคำตอบที่ได้ต้องอยู่ระหว่าง -3 และ -2 จึงไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม
ถ้าอยากแก้จริงๆ ก็เปลี่ยนตัวแปรโดยให้ $A=2^x$ สมการดังกล่าวก็จะกลายเป็น $A^2+A^3+A^4=\frac{1}{16}$ ซึ่งดูทรงแล้วไม่น่าจะแก้มือได้ง่ายๆ แถมยังต้องมาถอด log อีกรอบเพื่อหาค่า x จึงไม่แนะนำให้ทำครับ
_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._
ส่วนสมการที่สอง ใช้สมบัติพื้นฐานของ log ได้ว่า $\log_{1024} x^{k}=k \log_{1024}x$ แล้วดึงตัวประกอบร่วม $\log_{1024} x$ ออกจากทุกพจน์ ได้ว่า
$$(1+2+3+\cdots+2020)\log_{1024}x = 2021$$
ใช้สูตรผลรวม $1+2+\cdots+2020=\frac{2020 \cdot 2021}{2}$ แล้วหาร 2021 ออกจากทั้งสองฝั่งของสมการ จัดรูปแล้วสุดท้ายจะได้ $x=1024^{\frac{1}{1010}}$ นั่นคือ $b=1024$ และ $c=1010$