[nooonuii]

7.

My Solution:

ให้รากคือ $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ จะได้ว่า $x_1,...,x_5>0$ และ $x_1x_2x_3x_4x_5=1$

ดังนั้นโดย AM-GM

$a\geq \binom{5}{1}$

$b\geq \binom{5}{2}$

$c\geq \binom{5}{3}$

$d\geq \binom{5}{4}$

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\leq \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{5}$

9.

My Solution:

ถ้า $n=2$ เห็นได้ชัด

สมมติ $n\geq 3$

จะได้ว่า

$\sqrt{2n-1}<n-1<2n-2<2n-1$

โดย Chebychev Theorem จะมีจำนวนเฉพาะ $p$ ที่สอดคล้องสมบัติ

$n-1<p<2n-2$

ดังนั้น $\sqrt{2n-1}<p<2n-1$

ซึ่งจะได้ว่า $p$ ปรากฎใน $m=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)$ เพียงครั้งเดียว

สมมติว่า

$1+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}=k$ เป็นจำนวนเต็ม

จะได้ว่า

$km=m+\dfrac{m}{3}+\cdots +\dfrac{m}{2n-1}$

ดังนั้น $p$ หาร $\dfrac{m}{p}$ ลงตัวซึ่งขัดแย้ง