จำไปเลยนะครับ
ให้ $|x|<1$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า $(1+x)^{-n}=\sum_{r = 0}^{\infty} (-1)^r\binom{n+r-1}{r}x^r$
มันเอาไอสูตรนี้มาใช้นี่แหละ พิสูจน์ได้จากอนุพันธ์+อุปนัยนะครับ (เรียนยังหว่า)
วิธีนับแบบนี้มันเรียกว่า Generating Function ครับ คือเอาพฤติกรรมของฟังก์ชันมาช่วยนับ
ผมแนะนำว่า ไปหาหนังสือมาซักเล่ม เอาดีๆเลย อ่านให้เข้าใจ ว่าทำไมมันช่วยนับได้
กลับมาดูที่โจทย์ มันต้องการนับ $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=7$ โดยมีเงื่อนไขว่า $1 \leq x_{i} \leq 3$
หมายความว่าต้องดูสัมประสิทธ์ของ $x^7$ จากการกระจาย $(x+x^2+x^3)^6$
ผมอธิบายให้คร่าวๆนะ สมมติว่าเป็น $a+b+c=3$ โดยที่ $a,b,c \geq 0$ ไม่มีเงื่อนไข $1 \leq x_{i} \leq 3$ เหมือนข้างบน
มันจะได้ฟังก์ชันคือ $f(x)=(1+x+x^2+x^3+...)^3$
ซึ่งมันมาจาก $(x_{a}^{0}+x_{a}^{1}+...)(x_{b}^{0}+x_{b}^{1}+...)(x_{c}^{0}+x_{c}^{1}+...)$
สามวงเล็บรวมกันจะอธิบายพฤติกรรมของสมการ $a+b+c=3$ ได้ครับ ถ้าให้การเขียน $x_{a}^{i}$ หมายถึง $a$ มีค่าเป็น $i$
ถ้าเขียน $x_{a}^{1}x_{b}^{1}x_{c}^{1}$ ก็จะแทน $(a,b,c)=(1,1,1)$ ซึ่งเป็นผลเฉลยหนึ่งของสมการ $a+b+c=3$
เพราะฉะนั้นในกรณีทั่วๆไป $x_{a}^{i}x_{b}^{j}x_{c}^{k}$ โดยที่ $i+j+k=3$ ก็จะแทนคู่อันดับ $(a,b,c)$ ทั้งหมดได้ว่ามันเป็นอะไรได้บ้าง $(2,1,0),(3,0,0),(1,2,0)$ และอีกมากมาย
แต่ว่าเราไม่สนใจว่ามีคู่อันดับหน้าตายังไงบ้าง เราสนแค่ว่ามันมีกี่คู่ ก็เหมือนว่าผลเฉลยของสมการ $a+b+c=3$ มันมีกี่ตัว
เพราะงั้น เราจะมองมันเป็น $x$ เดียวกันทั้งหมด $x_{a}^{1}x_{b}^{1}x_{c}^{1}+x_{a}^{3}x_{b}^{0}x_{c}^{0}+x_{a}^{2}x_{b}^{2}x_{c}^{0}+...+x_{a}^{0}x_{b}^{1}x_{c}^{2}=10x^3$
ซึ่ง $10$ ที่ได้คือจำนวนคู่อันดับทั้งหมดที่เป็นคำตอบของสมการ $a+b+c=3$
ทีนี้พอเพิ่มเงื่อนไขไปว่า $1 \leq a,b,c \leq 3$ สมการมันจะเหลือแค่ $(x+x^2+x^3)^3$ แทนที่จะเป็น $(1+x+x^2+...)^3$
กลับมาดูที่โจทย์อีกครั้ง ก็จะได้ $(x+x^2+x^3)^6$ คงตอบข้อ 1,2 ได้แล้ว
ส่วนข้อ 3 ที่แทน $k$ เป็น $1$ เพราะจะดูสัมประสิทธิ์ของ $x^7$ จากก้อนๆที่คูณกันอยู่ จาก $\binom{k+5}{5}x^k$ ต้องได้ $k$ เป็น $1$ ไปจับกับ $x^6$ ข้างหน้า
ข้อ 4 ที่ถามมา มันไม่ใช่บวกเข้าตัดออกนะครับ แต่เป็นการรวมสัมประสิทธิ์จากพจน์ $x$ กำลัง $11,13$
ปล.ซื้อหนังสือเถอะ เอาพื้นฐานให้แม่นๆ
