[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

1.กำหนด $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $x>y>z$ และ $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2} = \dfrac{1}{z^2} $ แล้ว $x^2+y^2+z^2$ น้อยที่สุดเป็นเท่าไร

สมมติให้ $gcd(x, y) = p > 1$

ดังนั้น $x = mp, y = np$ โดยที่ $m > n$

จะได้ $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} =\frac{1}{m^2p^2}+\frac{1}{n^2p^2} = \frac{1}{p^2}\cdot \frac{m^2+n^2}{m^2n^2} = \frac{1}{(mn)^2} $

เมื่อ $m^2+n^2=p^2$

เนื่่องจาก $p$ น้อยสุดที่ทำให้สมการ $m^2+n^2=p^2$ เป็นจริงคือ $p = 5$ และ $4^2+3^2=5^2$

ดังนั้น $(x, y, z) = (mp, np, mn) = ((4)(5), (3)(5),(4)(3)) = (20, 15, 12)$

ดังนั้น $x^2+y^2+z^2 \ge 400 + 225 + 144 = 769$

ยังให้เหตุผลไม่สมบูรณ์นะครับ อาจจะผิดพลาดได้

แต่ถ้าแสดงได้ว่า ถ้า $p = 1$ แล้ว $gcd(x^2+y^2, x^2y^2) = 1$ ก็จะถูกต้องและสมบูรณ์