[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

มีเอกลักษณ์ นำเสนอ
เหล่าจอมยุทธ อย่าออเออ
เล่นดูเวอร์ ตามกันไป
โปรดร่วมกัน อภิปราย
ช่วยชี้แจ้ง แถลงไข
ไล่ตัวเลข สนิทใจ
ใครต่อใคร เห็นตรงกัน
เอกลักษณ์ มีชื่อเรียก
Fractorial เศษส่วนย่อย
เรียงตัวเลข บวกกันไป
น่าตกใจ ใครนิยาม

$\frac{1}{1!}=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\frac{4}{5!}...$

$\frac{1}{2!}=\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\frac{4}{5!}+\frac{5}{6!}+...$

$\frac{1}{3!}=\frac{3}{4!}+\frac{4}{5!}+\frac{5}{6!}+\frac{6}{7!}...$
...
...
$\frac{1}{n!}=\frac{n}{(n+1)!}+\frac{(n+1)}{(n+2)!}+\frac{(n+2)}{(n+3)!}+\frac{(n+3)}{(n+4)!}+...$

หรือ

$$\frac{1}{k!}=\sum_{n = k}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}$$

ใช้ induction ครับ โดยเราได้ว่า $\dfrac{1}{k!}-\dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{1}{(k+1)!}$
ดังนั้นเเล้ว $$\dfrac{1}{(k+1)!}=\dfrac{1}{k!}-\dfrac{k}{(k+1)!}=\left(\sum_{k\le n}\dfrac{n}{(n+1)!}\right)-\dfrac{k}{(k+1)!}=\sum_{k+1\le n}\dfrac{n}{(n+1)!}$$