สวัสดีเจ้าค่ะ...
หนึ่งในเทคนิคของการพิสูจน์ว่าจำนวนเต็มบวกสองจำนวนเท่ากันก็คือการพิสูจน์ว่าตัวนึงสามารถหารอีกตัวลงตัว และกลับกันได้เจ้าค่ะ ในที่นี้เราจะแสดงว่า
1. $(a,b) | (a+b,[a, b])$
2. $(a+b, [a,b]) | (a,b)$
สำหรับ 1. นั้นเราให้ $d = (a,b)$ จะได้ว่า $d|a$ และ $d|b$
นั่นคือ $d|a+b$ และเพราะว่า $a|[a,b]$ จะได้ว่า $d|[a,b]$ ด้วย จึงสรุปได้ว่า $d|(a+b,[a,b])$
สำหรับ 2. เราให้ $d' = (a+b,[a,b])$ จะได้ว่า $d'|a+b$ และ $d'|[a,b]$
สมมติว่า $d' \not| a$ และ $d'\not| b$ จะได้ว่าต้องมีจำนวนเฉพาะ $p$ ที่กำลังของ $p$ ใน $d'$ มีค่ามากกว่ากำลังใน $a$ และกำลังใน $b$
นั่นคือถ้าให้กำลังสูงสุดของ $p$ ใน $d', a, b$ เป็น $e_p(d'), e_p(a), e_p(b)$ แล้วจะได้ว่า $e_p(d') > e_p(a)$ และ $e_p > e_p(b)$
หรือว่า
$$e_p(d') > max\left\{\,e_p(a),e_p(b)\right\}$$
นั่นเองเจ้าค่ะ แต่การที่ $d'|[a,b]$ ย่อมแปลว่า $e_p(d') \leqslant max\left\{\,e_p(a),e_p(b)\right\}$ จึงเกิดข้อขัดแย้ง
จึงได้ว่า $d'|a$ หรือ $d'|b$ และเมื่อประกอบกับที่ $d'|a+b$ จะได้ว่า
$$d'|a, d'|b$$
จึงได้ว่า $d'|(a,b)$ ตามต้องการเจ้าค่ะ
|