อ้างอิง:
|
\[\matrix{1^2&=&\frac{1\cdot2\cdot3}{6}\\1^2+3^2&=&\frac{3\cdot4\cdot5}{6}\\1^2+3^2+5^2&=&\frac{5\cdot6\cdot7}{6}}\]
|
สมมุติฐานคือ
$\sum_{k=1}^n(2k-1)^2=\frac{(2n-1)(2n)(2n+1)}{6}$
พิสูจน์
$\sum_{k=1}^n(2k-1)^2=\sum_{k=1}^n(4k^2-4k+1)$
$=4\sum_{k=1}^nk^2-4\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n1$
$=\frac{2}{3}n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n$
$=\frac{2n(n+1)(2n+1)-6n(n+1)+3n}{3}$
$=\frac{2n(n+1)(2n-2)+3n}{3}$
$=\frac{n(2n+1)(2n-1)}{3}$
$=\frac{(2n-1)(2n)(2n+1)}{6}$