สมมติให้ $abc_{10}$ เป็นจำนวนที่เราหา เมื่อ $a,b,c$ เป็นเลขโดด ดังนั้น $a^3+b^3+c^3=100a+10b+c$
สังเกตว่า $10|a^3+b^3+c^3-c$ เราจะแจงกรณีตาม $c$ (เลขหลักหน่วย) ดังนี้
กรณีแรก $10|c^3-c$ ดังนั้น $c=0,1,4,5,6,9$
เพราะ $10|a^3+b^3$ ดังนั้น $(a,b)\in\{(0,0),(1,9),(2,8),\dots,(9,1)\}$
ซึ่งตรวจสอบได้ง่ายๆว่ามี 1, 370, 371 เท่านั้นที่สอดคล้องเงื่อนไข
กรณีหลัง $10\not|c^3-c$ จะแจงได้อีกสองกรณีย่อยดังนี้
- เมื่อ $c=2,7$ จะได้ $c^3-c\equiv6\pmod{10},\ a^3+b^3\equiv4\pmod{10}$
ดังนั้น $(a,b)\in\{(0,4),(1,7),(8,8),(7,1),(4,0),(5,9),(6,2),(3,3),(2,6),(9,5)\}$
ซึ่งตรวจสอบได้ง่ายๆว่ามี 407 เท่านั้นที่สอดคล้องเงื่อนไข
- เมื่อ $c=3,8$ จะได้ $c^3-c\equiv4\pmod{10},\ a^3+b^3\equiv6\pmod{10}$
ซึ่งตรวจสอบได้ง่ายๆว่ามี 153 เท่านั้นที่สอดคล้องเงื่อนไข
เลขสามหลักที่สอดคล้องเงื่อนไขจึงมีสี่ตัว คือ 153,370,371,407
หมายเหตุ: สำหรับคนที่อ่านไม่เข้าใจ ที่พิมพ์ด้านบนคือการดูเลขท้ายแล้วแจงกรณีครับ