จริงๆ ผมชอบ NT สุด จะไม่ปล่อย NT มันก็กระไรอยู่ 555
1.) ให้ $k,n$ เป็นจำนวนนับโดยที่
$$\underbrace{\phi(\phi(...\phi(}_{k} n)...)=1$$
จงแสดงว่า $n\leq 3^k$ (USATSTST 2016 #4)
2.) ให้ $\sqrt{3}=1.b_1b_2..._{(2)}$ เป็นการเขียน $\sqrt{3}$ ในรูปเลขฐานสอง
จงแสดงว่าสำหรับทุกจำนวนนับ $n$ มีอย่างน้อยหนึ่งจำนวนใน $b_n,b_{n+1},...,b_{2n}$ ที่มีค่าเป็น $1$
(USATST2016 #4)
3.) ให้ $a,b$ เป็นจำนวนนับโดยที่ $a!+b!|a!b!$ จงแสดงว่า $3a\geq 2b+2$ (ISL 2015 N2)
4.) สำหรับจำนวนนับ $n$ เรานิยามให้ $D_n=\left\{d-\frac{n}{d}:d|n,d<\sqrt{n}\right\} $
จงแสดงว่ามีจำนวนนับ $n_1,n_2,...,n_{2016}$ ที่ทำให้
$$|D_{n_1}\cap D_{n_2}\cap ...\cap D_{n_{2016}}|>1$$
(Modified from China MO 2015 #2)
5.) จงหาพหุนาม $P(x)\in\mathbb{Z}[x]$ ทั้งหมดที่มีสมบัติว่ามีจำนวนเต็ม $n$ เป็นอนันต์ที่ $P(n+P(n))$ เป็นจำนวนเฉพาะ
(Canada MO 2016 #3)
ที่ผมลงไปมี 30 ข้อ ทำได้ซัก 15+ ข้อก็คงจะได้ สสวท. 2 ไม่ยากแล้วครับๆ
