อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
16. Simplify $$ \frac{{n \choose 0}}{1^{2}} - \frac{{n \choose 1}}{2^{2}} + \frac{{n \choose 2}}{3^{2}} - \cdots +(-1)^n \frac{{n \choose n}}{(n+1)^{2}} $$
|
โดยการ integrate $$ \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k = (1+x)^n $$ เราได้ $$ \sum_{k=0}^n {n \choose k} \frac{x^{k+1}}{k+1} = \frac{(1+x)^{n+1} -1}{n+1} $$ ดังนั้น $$ \sum_{k=0}^n {n \choose k} \frac{x^k}{k+1} = \frac{1}{n+1} \left( \frac{(1+x)^{n+1} -1}{(1+x)-1} \right) = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (1+x)^k $$ integrate ตั้งแต่ -1 ถึง 0 เทียบกับ $x$ จะได้ $$ \sum_{k=0}^n {n \choose k} \frac{(-1)^k}{(k+1)^2} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} $$ นั่นคือ $$ \frac{{n \choose 0}}{1^{2}} - \frac{{n \choose 1}}{2^{2}} + \frac{{n \choose 2}}{3^{2}} - \cdots +(-1)^n \frac{{n \choose n}}{(n+1)^{2}} = \frac{1}{n+1} \left( 1+ \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac{1}{n+1} \right) $$