อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ winlose
$a_n=(-1)^nlog_n(\frac{1}{2})log_{(n-1)}(\frac{1}{3})...log_2(\frac{1}{n})$
$b_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{k^4+k^2+1}$
หาค่า c ที่ทำให้ $lim_{n\rightarrow \infty }(a_n+cb_n)=4$
|
$a_n=(-1)^nlog_n(\frac{1}{2})log_{(n-1)}(\frac{1}{3})...log_2(\frac{1}{n})$
$a_n=(-1)^nlog_2(\frac{1}{2})log_{3}(\frac{1}{3})...log_n(\frac{1}{n})$
$a_n=(-1)^nlog_2(2^{-1})log_{3}(3^{-1})...log_n(n^{-1})$
$a_n=(-1)^n(-1)(-1)...(-1)$
$a_n=(-1)^{2n-1}$
$\because$ $2n-1$ เป็นจำนวนคี่ จะได้ว่า
$lim_{n\rightarrow \infty }a_n=-1$
_______________________________________
$b_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{k^4+k^2+1}$
$b_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}(\frac{1}{k^2-k+1} - \frac{1}{k^2+k+1})$
$b_n=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k^2-k+1} - \frac{1}{k^2+k+1})$
$b_n=\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{n^2+n+1})$
$b_n=\frac{1}{2}(\frac{n^2+n}{n^2+n+1})$
$lim_{n\rightarrow \infty }(b_n)=\frac{1}{2}$
________________________________________
$lim_{n\rightarrow \infty }(a_n+cb_n)=4$
$lim_{n\rightarrow \infty }(a_n)+clim_{n\rightarrow \infty }(b_n)=4$
$(-1)+c\frac{1}{2}=4$
$\therefore c = 10$