การแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิก สอวน. ครั้งที่ 2
(The Second POSN-Mathematical Olympiad)
วันที่ 2-6 พฤษภาคม 2548 ณ. ศูนย์ สอวน. มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี
วันแรก 3 พฤษภาคม 2548
ปรนัย เติมคำตอบ 21 ข้อ 21 คะแนน เวลาสอบ 3 ชั่วโมง (คะแนนสูงสุด 17 ต่ำสุด 0)
1. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูแนบในวงกลมรัศมี 1 หน่วย โดยที่ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ DC = 4AD จงหาระยะ AD
2. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมแนบในวงกลม จากจุด A และจุด B ลากเส้นตั้งฉากกับด้านตรงข้ามที่จุด A' และ B' ตามลำดับและเส้นตั้งฉากทั้งสองตัดกันที่จุด H ถ้า BH ยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม จงหาค่าของ A'B/AB
3. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีจุด A เป็นจุดยอด และมุมที่ฐานมีขนาดเป็นสองเท่าของมุมที่จุดยอด จงหาค่าของ AB/BC
4. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมแนบในวงกลมซึ่งมี BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้า AB ยาว 3 หน่วยและ AC ยาว 4 หน่วย และ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม ABC แล้วจงหาของ BO
ทOC
5.โยนลูกเต๋าลูกหนึ่ง 6 ครั้งจงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่ทำให้แต้มรวมเท่ากับ 21
6. จงหาจำนวนผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ สมการ (x
1+x
2+x
3)
2(y
1+y
2) = 2548
7. ต้องการเขียน 2548 ในรูปผลบวกของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปโดยลำดับมีความสำคัญ จะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี
8. จัดเรียงสมาชิกในแต่ละสับเซตของ S = {1,2,3,4,5,6,7} ที่ไม่ใช่เซตว่างจากมากไปน้อย ใส่เครื่องหมายบวกและลบสลับกันหน้าสมาชิกแต่ละตัวของสับเซต โดยเริ่มจากเครื่องหมายบวกหน้าจำนวนที่มากที่สุดในสับเซตนั้น หาผลบวกของจำนวนเหล่านั้น (เช่น สับเซต T={7,4,2} เราได้ 7-4+2 = 5 เป็นผลลัพธ์ของสับเซต T) จงหาผลบวกของผลลัพธ์ของทุกสับเซต S
9. จงหาห.ร.ม. ของ ( 135
90 - 45
90 )/ 90
2 กับ 90
2
10. จงหาเศษเหลือที่ได้จากการหาร
k
2005ท22005 ด้วย 2
2005
11. จงหาจำนวนเต็มบวก x ที่น้อยที่สุด ซึ่งทำให้ 2
2548 หาร x
2005 +1 ลงตัว
12. จงหาว่ามีจำนวนเต็มคู่ n กี่จำนวน ซึ่ง 0
ฃ n
ฃ 1000 และ 5
ฝ n
2 ท 2
2n2 + 1
13. จงหาจำนวนเต็มบวกคี่ k ทั้งหมดที่ทำให้มีจำนวนเต็มบวก m ซึ่ง k + (k+5) + (k+10) + ... + (k+5(m-1)) = 1372
14. กำหนดฟังห์ชัน f : N
ฎZ ( Z คือเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด) โดยที่ f(m+n) = f(m) + f(n) + 2mn - 2548 สำหรับทุกๆ m,n
ฮ N ถ้า f(2548) = -2548 แล้ว จงหา f(2)
15. กำหนดฟังก์ชัน f:R
ฎR โดยที่ f(x+2y) + 2f(y-2x) = 3x-4y+6 สำหรับทุกๆ x,y
ฮ R จงหา f(2548)
16. จงหาผลบวกของรากทั้งหมดของสมการ (2-x)
2005 + x
2005 = 0
17. ให้ a,b
ณ 0 และนิยาม a*b = (a+b+1)/(ab+12) จงหาค่า 0*(1*(2*(...(2003*(2004*2005))...)))
18. จงหาค่าของ
1/(1+tan
2548(k
p/2548))
19. กำหนด P(x) เป็นพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์ของ X
4 เท่ากับ 1 และ x-k หาร P(x) เหลือเศษ k เมื่อ k = 1,2,3,... จงหาค่า P(4)+P(0)
20. กำหนด a,b,c,d > 0 และ 36a+4b+4c+3d = 25 จงหาค่าสูงสุดของ ab
1/2c
1/3d
1/4
21. ให้
a,
b,
g เป็นจำนวนจริงใดๆ จงหาค่าต่ำสุดของ cos(
a-
b) + cos(
b-
g) + cos(
g-
a)
ผู้ที่ไปแข่งทุกคนคงได้เฉลยอยู่ในมือแล้ว แต่ในที่นี้ผมขอไม่เฉลยดีกว่า ลอง Discuss กันดูนะครับ