[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่

$a^2+b^2+c^2+2abc=1$

$a\sqrt{(1-b^2)(1-c^2)}+b\sqrt{(1-a^2)(1-c^2)}+c\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}= \dfrac{3}{2}$

จงหาค่าของ abc

ข้อความน่าจะเป็น ตอบ

ans

$\dfrac{\binom{12}{5}}{2^{12}}$

------------------------------
$a^2+b^2+c^2+2abc=1$
$a^2+2bca+(b^2+c^2-1)=0$
จาก $a$ เป็นจำนวนจริง หา discriminant จะได้

$(b^2-1)(c^2-1) \ge 0$
ในทำนองเดียวกัน จะได้

$(a^2-1)(b^2-1) \ge 0$
$(c^2-1)(a^2-1) \ge 0$

จะได้ $a \ge 1, b \ge 1, c\ge 1$ หรือ $a \le 1, b\le 1, c \le 1$
ซึ่ง ถ้า $a \ge 1, b \ge 1, c\ge 1$ จะขัดแย้งกับ $a^2+b^2+c^2+2abc=1$

ดังนั้น $a \le 1, b\le 1, c \le 1$

ให้ $a= \cos A, b=\cos B$ เมื่อ $A,B \in [0,\dfrac{\pi}{2})$
จาก $a^2+b^2+c^2+2abc=1$ จะได้ $c = -\cos(A+B)=\cos C$ เมื่อ $A+B+C=\pi$

จาก $\cos(A+B+C)=-1$
กระจาย !!!
$\cos A\cos B \cos C-\cos A\sin B\sin C - \cos B\sin C\sin A -\cos C\sin A\sin B = -1$

$abc - (a\sqrt{(1-b^2)(1-c^2)}+b\sqrt{(1-a^2)(1-c^2)}+c\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}) = -1$

$abc = \dfrac{1}{2}$

เขียนย่อๆเอานะครับ ถ้าเขียนเต็มคงยาวกว่านี้