[Amankris]

ตอนที่1 (5 ข้อ @ 4 คะแนน)

1).

สำหรับจำนวนจริง $a,b,c$ กำหนดให้ $\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{2}{9},\dfrac{b}{c+a}=\dfrac{3}{8},\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{6}{5}$

จงหาค่าของ $(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)$

2).

จงหาค่าของ $\left(2-\dfrac{1}{2+1}\right)\left(2-\dfrac{1}{2^2+1}\right)\cdots \left(2-\dfrac{1}{2^6+1}\right)$

3).

จงหาค่าของ $\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{36}+\dfrac{7}{144}+\dfrac{9}{400}+\dfrac{11}{900}+\dfrac{13}{1764}\right)42^2$

4).

รูปสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี $BC$ ยาว $65$ หน่วย $AB$ ยาว $63$ หน่วย $AC$ ยาว $16$ หน่วย
ให้ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $\overline{BC}$ และ $K$ เป็นจุดบน $\overline{BC}$ โดยที่ $\overline{AK}$ ตั้งฉากกับ $\overline{BC}$
ถ้า $\overline{MK}$ มีความยาวเท่ากับ $\dfrac{pq}{130}$ โดยที่ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงหาค่าของ $p+q$

5).

ในการเล่นเกม GG ซึ่งมีกติกาดังนี้
เริ่มต้นจะมีแผ่นรูปวงกลมรัศมี $100$ เซนติเมตร (เรียกว่าวงกลมใหญ่) จำนวน $1$ แผ่น
และแผ่นวงกลมรัศมี $1$ เซนติเมตร (เรียกว่าวงกลมเล็ก) จำนวนมากพอที่จะบรรจุลงในแผ่นวงกลมใหญ่
ต่อมาให้แต่ละคนผลัดกันวางแผ่นวงกลมเล็กลงในแผ่นวงกลมใหญ่โดยห้ามวางทับกัน และคนสุดท้ายที่วางจะเป็นผู้ชนะ
อยากทราบว่าคนที่เริ่มวางก่อนจะเป็นผู้ชนะหรือผู้แพ้โดยที่แต่ละคนเล่นด้วยวิธีการที่ดีที่สุด

ตอนที่2 (5 ข้อ @ 6 คะแนน)

6).

จงหารากที่สองของ $N$ เมื่อ $N=\sqrt{\sqrt{(62)(64)(66)(68)+16}+5}-1$

7).

เป็นรูปหกเหลี่ยมมุมเท่าซึ่งมีด้านหกด้านที่เรียงติดกันยาว $10,7,6,9,8$ และ $5$ หน่วย ตามลำดับ
ถ้าพื้นที่ของหกเหลี่ยมมุมเท่านี้เท่ากับ $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$ จงหาค่าของ $a$

9).

ให้ $a_1,a_2,\ldots,a_n$ เป็นลำดับของเลขฐานสามที่ประกอบด้วย $0$ กับ $1$ เท่านั้น
(เช่น $a_1=1_3,a_2=10_3,a_3=11_3,a_4=100_3$) จงหา $a_{100}$ ในรูปฐานสิบ

10).

ให้ $p,q,r$ เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $p>q$ และ $p>r$ ซึ่งสอดคล้องสมการ
$pqr=9p+6q+6r+18$ จงหาค่าของ $(p-2)(q-3)$

ตอนที่3 (5 ข้อ @ 10 คะแนน)

11).

จงหาคำตอบของสมการ $x^4-22x^2+48x-23=0$
(Hint : $22=10+12,23=48-25,48=36+12$)

13).

จงหาสามสิ่งอันดับ $(x,y,z)$ ทั้งหมดที่สอดคล้องระบบสมการต่อไปนี้
$\cases{x^2+2yz+x=-2\cr y^2+2zx+y=4\cr z^2+2xy+z=4}$
เมื่อ $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มโดยที่ $x+y+z>0$

14).

กำหนดให้ $\left\lfloor x\right\rfloor$ หมายถึงจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่าหรือเท่ากับ $x$
จงหาค่าของ $\displaystyle\sum_{a=1}^{1024}\left\lfloor2\sqrt{a}\right\rfloor$

15).

ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวกสามจำนวน ซึ่งทั้ง $7$ จำนวน
$a,b,c,a+b-c,b+c-a,c+a-b,a+b+c$ เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด
ให้ $d$ เป็นผลต่างระหว่างจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดกับน้อยที่สุดในจำนวนเฉพาะทั้ง $7$ จำนวนนี้
และถ้า $a+b=800$ จงหาค่า $d$ ที่มากที่สุด

Full Version @#37,#38