3.
$\displaystyle \int_{1}^{2015} f(x)dx= \int_{1}^{2}(f(x)+f(x+1)+f(x+2)+...+f(x+2013))dx$
$= \displaystyle \int_{1}^{2} \Big(\prod_{k=0}^{2013}(x+k)\Big)\Big(\sum_{k=0}^{2013} \frac{1}{(x+k)}\Big) dx$
จาก $(uv)'=u'v+v'u$ สามารถขยายสูตรนี้ ให้อยู่ในรูปทั่วไป
สูตร
จะได้
$\displaystyle\dfrac{d}{dx}x(x+1)\cdots (x+2013)= \Big(\prod_{k=0}^{2013}(x+k)\Big)\Big(\sum_{k=0}^{2013} \frac{1}{(x+k)}\Big)$
ดังนั้น
$\displaystyle \int_{1}^{2} \Big(\prod_{k=0}^{2013}(x+k)\Big)\Big(\sum_{k=0}^{2013} \frac{1}{(x+k)}\Big) dx = 2(2+1)\cdots (2+2013) - 1(1+1) \cdots (1+2013) = 2015!-2014! = 2014 \times 2014!$
$n=2014$
$\sqrt{\dfrac{n^4+n^2+1}{n^2+n+1}+2013}$ = $\sqrt{n^2-n+1+n-1}=n=2014$