อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine
9.พิสูจน์ทฤษฎีของ Wolstenholme ดังนี้
9.1) สำหรับจำนวนเฉพาะ $p \ge 5$ และจำนวนเต็ม $a,b$ ซึ่ง $(a,b)=1$ และ
$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p-1}=\frac{a}{b}$$
พิสูจน์ว่า $p^2|a$
9.2) สำหรับจำนวนเฉพาะ $p \ge 5$ และจำนวนเต็ม $a,b$ ซึ่ง $(a,b)=1$ และ
$$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{(p-1)^2}=\frac{a}{b}$$
พิสูจน์ว่า $p|a$
|
9.1 ให้ $H_{p-1}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p-1}$ note:$p-i \equiv -i \pmod{p}$
จะแสดงว่า ถ้า$p$เป็นจำนวนเฉพาะที่$\geqslant 5$แล้ว $$p^2|(p-1)!(H_{p-1}) =\sum_{i = 1}^{\frac{p-1}{2} } (p-1)!(\frac{1}{i} +\frac{1}{p-i} ) =\sum_{i = 1}^{\frac{p-1}{2} } (p-1)!\frac{p}{i(p-i)} \Leftrightarrow p|\sum_{i = 1}^{\frac{p-1}{2} } (p-1)!\frac{1}{i(p-i)} $$
$$\Leftrightarrow \sum_{i = 1}^{\frac{p-1}{2} } (p-1)!\frac{1}{i(p-i)}\equiv 0 \pmod{p}$$
จาก note ,wilson's theorem และ inverse modulo ได้ว่า $$\sum_{i = 1}^{\frac{p-1}{2} } (p-1)!\frac{1}{i(p-i)}\equiv \sum_{i = 1}^{\frac{p-1}{2} } (p-1)!\frac{1}{-i^2} \equiv \sum_{i = 1}^{\frac{p-1}{2} } \frac{1}{i^2} \equiv \sum_{i = 1}^{\frac{p-1}{2} } i^2 = \frac{p(p^2-1)}{24}\equiv 0 \pmod{p} $$
เป็นจริงเพราะว่า $(p,24)=1$
ข้อ 9.2 ก็ทำคล้ายๆกันนะ