[Metamorphosis]

#11
ผมแทน $x=0$ เข้าไป ทำไมไม่จริงอะครับ ตอบ เซตว่าง รึเปล่าครับ

------------------------------------------------------------------------------------


ให้ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ $x^2-\dfrac{1}{x}=2012$ จงหาค่าของ $\dfrac{a^2-b^2-c^2}{a^2+b^4c+c^4b}$

ข้อนี้ดูเหมือนจะสลับซับซ้อน ถ้าทำจริงๆก็ไม่ยาก

จัดรูปก่อน $x^3-1 = 2012x , x^3-2012x-1=0$
เนื่องจาก $a,b,c$ เป็นรากของสมการ จะได้ $a+b+c = 0 , ab+bc+ca = -2012 , abc=1$

พิจารณา $a^2+b^4c+c^4b = a^2+bc(b^3+c^3) $
เนื่องจากถ้า $a+b+c = 0 $ แล้ว $a^3+b^3+c^3 = 3abc = 3 $ จะได้ $b^3+c^3 = 3-a^3$
จะได้ $a^2+bc(b^3+c^3) = a^2+bc(3-a^3) = a^2-a^3bc + 3bc = a^2-a^2+3bc = 3bc$

พิจารณาเศษคือ $a^2-b^2-c^2 = (a-b)(a+b) -c^2 = -c(a-b)-c^2 = c(-a+b-c) = c(-(a+c)+b) = c(2b) = 2bc$

เพราะฉะนั้น $\dfrac{a^2-b^2-c^2}{a^2+b^4c+c^4b} = \dfrac{2bc}{3bc}=\dfrac{2}{3} $