ข้อ 6 ของม.ปลายนะครับ ให้หาจำนวนเต็มบวก \(n\) ที่มากที่สุดที่ทำให้ \(\sqrt{n+\sqrt{1966}} - \sqrt{n-1}\) เป็นจำนวนเต็มบวก
คิดแล้วมันไม่มีคำตอบอะ ช่วยตรวจสอบให้หน่อยนะครับ
แบ่งเป็นสองกรณีดังนี้
1. ถ้าทั้งสองพจน์เป็นจำนวนเต็มบวก เราจะรู้ว่า \[
n + \sqrt{1966} = m^2
\]เมื่อ m เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งเมื่อย้ายข้างเป็น
\[
n = m^2 - \sqrt{1966}
\]ไม่สามารถหาจำนวนเต็มบวก \(n\) ได้
2. ถ้าทั้งสองพจน์เป็นจำนวนอตรรกยะ จะต้องมีจำนวนเต็ม \(k\) ที่ทำให้ \[
\sqrt{n+\sqrt{1966}} = k + \sqrt{n-1}
\]ซึ่งเมื่อยกกำลังทั้งสองข้าง จะเห็นว่า\[
\begin{eqnarray}
n + \sqrt{1966} & = & k^2 + (n - 1) + 2k\sqrt{n - 1} \\
1 - k^2 + \sqrt{1966} & = & 2k\sqrt{n - 1} \\
(1 - k^2)^2 + 1966 + 2(1 - k^2)\sqrt{1966} & = & 4k^2(n - 1)
\end{eqnarray}
\]เนื่องจากฝั่งขวาของสมการเป็นจำนวนเต็ม จึงมีค่า \(k^2\) เพียงค่าเดียวที่เป็นไปได้คือ \(k^2 = 1\) แทนค่ากลับลงไปจะเห็นว่า
\[
1966 = 4(n - 1)
\]จะเห็นว่า ไม่สามารถหา \(n\) ที่เป็นจำนวนเต็มได้ เพราะว่า 4 หาร 1966 ไม่ลงตัว
สรุป: ไม่มีคำตอบ
|