[tngngoapm]

ความคิดเห็นนี้จะเป็น จินตนาการ(น้อยนิด)+ความรู้(ไม่มาก)+อคติ(ส่วนตัว) เกี่ยวกับการอธิบายค่าของความโค้งในการเคลื่อนที่โดยใช้แคลคูลัสเป็นเครื่องมือนะครับ
ในการเคลื่อนที่2มิติคือมีมิติของแกน xและแกนy.....
ให้ $dl=ค่าความยาวส่วนโค้งของการเคลื่อนที่,dy=ค่าการกระจัดตามแนวแกนy,dx=ค่าการกระจัดตามแนวแกนx,R=รัศมีความโค้งของการเคลื่อนที่,$
$\rho =\frac{1}{R}=ค่าความโค้งของการเคลื่อนที่, \theta =มุมที่กราฟการเคลื่อนที่ทำกับแกนx,\frac{dy}{dx}=y'=อนุพันธ์อันดับ1ของyเทียบกับx,$
$\frac{d^2y}{dx^2} =y''=อนุพันธ์อันดับ2ของyเทียบกับx $
จะได้ความสัมพันธ์คือ $(dl)^2=(dx)^2+(dy)^2$
ทำต่อไปได้...
$dl=(1+(\frac{dy}{dx}) ^2)^{\frac{1}{2}}dx $
$\frac{dl}{dx} =(1+(\frac{dy}{dx})^2)^{\frac{1}{2}} $
$\frac{Rd\theta }{dx}= (1+tan^2\theta )^{\frac{1}{2}}$.........(1)
ในขณะที่ $\frac{d^2y}{dx^2} =\frac{d(tan\theta) }{dx}$
$ \frac{d^2y}{dx^2} =sec^2\theta \frac{d\theta }{dx} $
หรือ $\frac{d\theta }{dx} =(\frac{d^2y}{dx^2} )(cos^2\theta )$..........(2)
แทน (2)ใน(1)..........$Rcos^2\theta (\frac{d^2y}{dx^2})=sec\theta $
$\frac{1}{R} =(cos^3\theta) (\frac{d^2y}{dx^2})$
$\rho =\frac{y''}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2} }} $
หรือตีความได้ว่าค่าความโค้งในการเคลื่อนที่2มิติขึ้นอยู่กับค่า อนุพันธ์อันดับ1และ2
อย่างเช่นในการเคลื่อนที่แบบวิธีโค้งภายใต้ความโน้มถ่วงของโลกวัตถุจะมีค่าความโค้งมากที่สุดเมื่อ $y'=0$และจะได้ค่าความโค้ง$=y''$ หรือพูดได้ว่าวัตถุจะมีความโค้งมากที่สุดเมื่อวัตถุอยู่ในตำแหน่งสูงสุดนั่นเอง
หรือถ้าตีความให้โอเวอร์อีกสักนิดก็คือ ที่ตำแน่งสูงสุดของการเคลื่อนที่วิถีโค้งภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลก วัตถุจะมีค่าความโค้งมากที่สุดทำให้เกิดความเหวี่ยงซึ่งผมขอเรียกว่าความเร่งเทียมเพื่อเสมือนว่าวัตถุเป็นอิสระไม่ได้ตกภายใต้ความโน้ม ถ่วงของโลกแต่อย่างใด
คราวนี้เราลองมาพิจารณาการเคลื่อนที่แบบ 1 มิติ เราก็น่าสามารถจะหาความโค้งของการเคลื่อนที่ได้เมื่อเทียบกับเวลา ผมขอเรียกว่าเป็นค่าความโค้ง $1มิติ space-time$

ซึ่งคาดว่า เมื่อผู้สังเกตอยู่ในกรอบความเร็วสัมพัทธ์หยุดนิ่ง(v=0)และสังเกตุวัตถุรอบข้างมีความเร็วสูงมากอย่างมีความเร่ง มิติของspace-timeน่าจะมีความโค้งเกิดขึ้น